Verteilungsfunktion - Definition und Nachweis

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Kvasil Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktion - Definition und Nachweis
Hallo!

Ich möchte nachweisen, dass



eine Verteilungsfunktion ist.
Zum Hintergrund: Es ging darum: "Bestimmen Sie die Verteilung der Zufallsvariable X, wenn aus einer Urne mit nummerierten Kugeln drei Kugeln gezogen werden und X die mittlere davon ist.

Wir haben in der Vorlesung definiert:

"Die Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Verteilung der Zufallsvariablen X."

Dummerweise steht weiterhin nur noch, dass die Summe aller für i = 1, ..., N genau 1 ist.

-> Ich habe nachgewiesen, dass (Indexwahl dadurch, dass die gesuchte "mittlere Kugel" nie die erste oder letzte sein kann).


Sicherlich muss ich aber noch mehr zeigen?
Im Internet bin ich darauf gestoßen, dass vielmehr Folgendes gilt (die Verteilungsfunktion wird hier mit F bezeichnet und sieht in meinen Augen etwas anders aus als die von uns definierte?!):

1.)
2.) falls
3.) Grenzwert linksseitig ist 0, rechtsseitig 1.
4.) ist stetig von rechts.

verwirrt
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktion - Definition und Nachweis
Zitat:
Original von Kvasil
1.)
2.) falls
3.) Grenzwert linksseitig ist 0, rechtsseitig 1.
4.) ist stetig von rechts.
Das sind stetige Verteilungsfunktionen. Du hast eine diskrete Verteilungsfunktion.

Es ist nur noch zu zeigen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kvasil
Ich möchte nachweisen, dass



eine Verteilungsfunktion ist.

Das wird schwerlich gelingen, da du anscheinend Begriffe verwechselst: ist nicht die Verteilungsfunktion, sondern die Wahrscheinlichkeitsfunktion (maßtheoretisch: entspricht einer Radon-Nikodym-Dichte bzgl. des Zählmaßes) deiner Zufallsgröße , es besteht allenfalls eine Verbindung zur Verteilungsfunktion über den Zusammenhang

.



P.S.: Es ist allerdings richtig, dass 1)-4) die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion beschreiben, auch von denen diskreter Zufallsgrößen.

Nur 3) ist ziemlich seltsam formuliert, gemeint ist allem Anschein nach

Zitat:
3.)
Kvasil Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Zitat:
Original von Math1986
Das sind stetige Verteilungsfunktionen. Du hast eine diskrete Verteilungsfunktion.


Zitat:
Original von HAL 9000
P.S.: Es ist allerdings richtig, dass 1)-4) die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion beschreiben, auch von denen diskreter Zufallsgrößen.


Das verwirrt mich ein wenig, denn es klingt in meinen Augen nach einem Widersprich. Auch in der Literatur und - weil es eine schnell zitierbare Quelle darstellt - hier [Wikipedia] lese ich heraus, dass jene Eigenschaften auch für eine diskrete Verteilungsfunktion gelten.

WENN ich also eine Verteilungsfunktion, wie sie mir HAL 9000 notiert hat, nachweisen müsste, müsste ich auch jene Eigenschaften zeigen?

Da ich aber "nur" die Wahrscheinlichkeitsverteilung benötige, reicht es, wenn ich nun noch das von Math1986 geschriebene zeige?



Zitat:
Original von HAL 9000

...es besteht allenfalls eine Verbindung zur Verteilungsfunktion über den Zusammenhang

.


Wenn die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, ich aber die (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung suche, dann habe ich doch mit meiner Berechnung von etwas ganz anderes berechnet verwirrt


Beste Grüße

NACHTRAG:

Nachdem ich kurz noch einmal über die Begriffe gesehen habe, ergibt sich etwa aus Wikipedia:

1.) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist gegeben durch .
2.) Die Verteilungsfunktion berechnet sich durch Aufsummieren der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion mittels .

Das wiederum würde bedeuten: Wahrscheinlichkeitsverteilung = Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Und: Wahrscheinlichkeitsverteilung = Verteilung


Stimmt das?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja, die Worte und ihre Bedeutung ...

Ich habe mir angewöhnt, bei mit dem Wort Verteilung mit zu arbeiten .

bei "=" könnte man von Verteilung im Wortsinne reden, nur ist das Wort schon reserviert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kvasil
1.) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist gegeben durch .

Das entscheidende in dem Satz ist das "ist gegeben durch", was nicht identisch ist mit "ist gleich".

"Wahrscheinlichkeitsverteilung" ist der (nicht näher konkretisierte) Oberbegriff für alle diese Dinge, sei es nun Verteilungsfunktion, Dichtefunktion (im stetigen Fall) oder Wahrscheinlichkeitsfunktion (im diskreten Fall), denn all diese aufgezählten Dinge sind geeignet, die Wahrscheinlichkeitsverteilung (genauer: das Verteilungsmaß) eindeutig zu beschreiben.
 
 
Kvasil Auf diesen Beitrag antworten »

Okay..

Dann muss ich also nachweisen, dass


eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.

Dazu zeige ich:



und

.


Letzteres müsste sich so zeigen lassen:

Wegen ist
,
weiters offensichtlich erfüllt, da wegen und da stets gilt.

Nur für den -Teil fehlt mir noch der Ansatz.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der -Beweis ist unnötig: Wenn du zeigst, dass alle Werte und in der Summe sind, dann ist für die Summanden automatisch erfüllt. Augenzwinkern

Und das hier würde ich eher so formulieren:

Zitat:
Original von Kvasil (leicht geändert)

Dann muss ich also nachweisen, dass


eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt.

Ganz in dem Sinne, was ich oben gesagt hatte. Aber das nur am Rande, wir wollen ja nicht päpstlicher sein als der Papst. Augenzwinkern
Kvasil Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Der -Beweis ist unnötig


Tanzen Tatsächlich! smile

Zitat:
Original von HAL 9000
..wir wollen ja nicht päpstlicher sein als der Papst. Augenzwinkern


Wobei mir genau das sicherlich nicht schaden würde, um zukünftig etwas präziser zu argumentieren Lehrer


Alle offenen Fragen sind geklärt. Herzlichsten Dank!
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