Komplexe Differenzierbarkeit

Neue Frage »

Wappi2 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Differenzierbarkeit
Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Frage. Ich habe zwei funktionen gegeben und diese auf komplexe differenzierbarkeit und holomorphie untersuchen.

diese sind folgende immer von C nach C
1. (2-3i)*Re(z)*(Im(z))^2
2. (1-i)*exp(Re(z))+(1+i)*exp(Im(z))


Meine Ideen:
also ich habe gezeigt, dass beide funktionen reell diffbar sind und die cauchyriemann-diffgleichungen geprüft.Bei der 1. kam folgendes bei raus:

u_x= 2y^2 u_y=4xy v_x= -3y^2 v_y= -6xy. Damit ergab sich

2y=-6x (wenn man schon kürzt) und 4x=3y
Wie finde ich jetzt raus wo die funktion komplex diffbar ist und vor allem holomorph


Bei der 2. kam raus bei beiden diffgleichungen e^x=e^y damir gelten die riemann diffgleichungen ja nur für x=y. Ist die funktion dann nur komplex diffbar für x=y oder wo und wo holomorph. Das prinzip wie man sowas macht ist klar, aber der rest nicht. Vielleicht könnt ihr mir helfen
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich zitiere mal deine Frage. Das kann ja kein Mensch lesen:


also ich habe gezeigt, dass beide funktionen reell diffbar sind und die cauchyriemann-diffgleichungen geprüft.Bei der 1. kam folgendes bei raus:

. Damit ergab sich

(wenn man schon kürzt) und
Wie finde ich jetzt raus wo die funktion komplex diffbar ist und vor allem holomorph
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso teilst du durch y? Meinst du, das ist legitim? Könnte y nicht Null sein? Nein, die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind in diesem Fall
und .
Das kannn man auch so schreiben:
und .
Was ist nun, wenn y=0 ist? Sind die Gleichungen erfüllt?

P.S.: Benutze bitte demnächst den Formeleditor. Danke.
Wappi Auf diesen Beitrag antworten »

ja okay, für y gleich null sind sie erfüllt und für y ungleich null muss ja dann x und y null sein damit sie erfüllt sind. aber wie weis ich dann wo sie komplex diffbar ist und holomorph?

und bei der zweiten hatte ich ja raus das x und y gleich sein müssen. wie ist das jetzt da mit komplex diffbar unff holomorph?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Funktion ist genau dann komplex diffbar in einem Punkt z = (x,y), wenn sie dort die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt. Sie ist holomorph in einer offenen Menge, wenn sie in jedem Punkt dieser Menge komplex diffbar ist.
Wappi Auf diesen Beitrag antworten »

ok also dann zur ersten funktion:

Wir haben rausgefunden, dass y null sein muss, also ist sie komplex diffbar für alle x aus den reellen zahlen oder?
Aber ich weiß immer noch nicht genau wie ich jetzt rausfinde, wo sie dann genau holomorph ist. Kannst du da nicht ein bisschen helfen.

bei der zweiten funktion sollte ja x=y sein. heißt das dann, dass sie für alle x und y aus den reellen komplex diffbar ist. auch hier weiß ich nicht, wo sie holomorph ist =/
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt und kombinieren. und beliebig bedeutet, daß auf der reellen Achse liegen muß. Genau für die Punkte der reellen Achse ist die Funktion daher komplex differenzierbar.
Diese Punkte sind die einzigen, in denen jetzt die Holomorphie zu untersuchen ist. Holomorph ist eine Funktion an einer Stelle, wenn sie an dieser und in einer Umgebung dieser Stelle komplex differenzierbar ist. Wie sieht es nun damit für die Punkte der reellen Achse aus?

Für die Differenzierbarkeit spielen konstante Faktoren ungleich Null keine Rolle (nur gegebenenfalls für den Wert der Ableitung). Es hätte daher genügt,



zu untersuchen.
Wappi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hoffe ich verstehe das jetzt richtig. Also wenn man nur punkte auf der reellen achse betrachtet, dann findet man dort doch keine andere stelle wo sie komplex diffbar ist oder?

und für die zweite funktion habe ich ja raus x=y, damit diese die C.R.D.G erfüllt. das heißt doch dann, dass wir auf der reellen oder imaginären achse liegen, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wappi
Also wenn man nur punkte auf der reellen achse betrachtet, dann findet man dort doch keine andere stelle wo sie komplex diffbar ist oder?


Die Begründung kann so nicht akzeptiert werden. Gerade worauf es ankommt, darauf gehst du nicht ein. "Dort" ist hier viel zu schwammig.

Zitat:
Original von Wappi
und für die zweite funktion habe ich ja raus x=y, damit diese die C.R.D.G erfüllt. das heißt doch dann, dass wir auf der reellen oder imaginären achse liegen, oder?


Das Rechenergebnis stimmt, die Interpretation nicht. Ehrlich gesagt, ist das Schulmathematik: Wo liegen alle Punkte , die erfüllen?
Wappi Auf diesen Beitrag antworten »

dann weiß ich nicht, wie ich das korrekt begründen würde =/

und zu der zweiten funktionen also punkte die y=x erfüllen liegen auf einer geraden.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wappi
dann weiß ich nicht, wie ich das korrekt begründen würde =/


Indem du dich auf die Definition der Holomorphie beziehst:

Zitat:
Original von Leopold
Holomorph ist eine Funktion an einer Stelle, wenn sie an dieser und in einer Umgebung dieser Stelle komplex differenzierbar ist.


Du weißt doch, was in der Topologie eine Umgebung ist? Man darf in der Definition "Umgebung" durch "offene Kreisscheibe" ersetzen. Vielleicht wird es dann leichter.

Zitat:
Original von Wappi
und zu der zweiten funktionen also punkte die y=x erfüllen liegen auf einer geraden.


Welche spezielle Gerade ist es?
wappi Auf diesen Beitrag antworten »

zur ersten funktion:

für die punkte auf der reellen achse ist die funktion komplex diffbar. So wenn man jetzt die definition der holomorphie betrachtet, dann und umgebung durch offene kreisscheibe ersetzt, dann würde man ja in die imaginäre achse wandern und das geht ja nicht wegen y=0.


zur zweiten funktion:

das ist die funktion die durch den ursprung geht, oder auch die winkelhalbierende oder worauf willst du hinaus?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wappi
dann würde man ja in die imaginäre achse wandern und das geht ja nicht wegen y=0.


Das wirkt sprachlich etwas unbeholfen: "man würde in die imaginäre Achse wandern". Vermutlich meinst du das Richtige, ganz sicher bin ich mir aber nicht. Ich würde sagen: Jede noch so kleine Kreisscheibe um einen Punkt der reellen Achse enthält Punkte, die nicht auf der reellen Achse liegen, in denen die Funktion also nicht komplex differenzierbar ist. Somit kann die Funktion im betreffenden Punkt nicht holomorph sein.

Zitat:
Original von wappi
das ist die funktion die durch den ursprung geht, oder auch die winkelhalbierende oder worauf willst du hinaus?


Ja, das meinte ich. Einfach die Lage der Geraden ein bißchen genauer beschreiben.
Wappi Auf diesen Beitrag antworten »

ja das meinte ich.

wie ist das denn bei der zweiten funktion mit holomorphie? ist das die gleiche argumentation wie bei der ersten funktion?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Letztlich hat man einen Dimensionskonflikt. Die Punkte, in denen die Funktionen komplex differenzierbar sind, bestimmen eindimensionale Figuren. Holomorphie findet aber im Zweidimensionalen statt.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »