Konvergenzradius für Parameter a

25.03.2016, 17:43

MH15

Konvergenzradius für Parameter a

Hallo alle zusammen ich habe diese Aufgabe (siehe Bild). Ich weiß wie man den Konvergenzradius berechnet nur weiß ich leider nicht wie man das hier in der Aufgabe für die Parameter a tut verwirrt

ich brauche einen Ansatzt bitte helft mir

25.03.2016, 22:57

Mulder

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Du kennst doch sicher eine Formel für den Konvergenzradius r der Form

$\begin{eqnarray*} r = blablabla \end{eqnarray*}$

Du setzt einfach r=4 ein und löst das dann nach a auf.

25.03.2016, 23:06

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Ja kenne ich. Das eine ist dem Wurzelkriterium Identisch und das andere mit dem Quotintnenkriterium.
Ich würde jetzt einfach das Wurzelkriterium nehmen nur ich weiß leider nicht wie ich das am besten zu wählen habe würdest du mir empfehlen mit (w) die ganze sache anzugehen ? verwirrt

25.03.2016, 23:09

Mulder

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Meine Güte, trau dich doch einfach mal, etwas zu versuchen. Ich muss grad echt an die Signatur von klarsoweit denken:

Zitat:

Nicht weil es schwer ist, wagen wir es nicht, sondern weil wir es nicht wagen, ist es schwer.

Manchmal trifft das wirklich den Nagel auf den Kopf.

25.03.2016, 23:20

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
also habe das (w) kriterium angewendet ich komme auf +2 und -2 mein rechenweg:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\frac{a^{2k} }{k} } =4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2} }{\sqrt[k]{k} } \end{eqnarray*}$

da der nenner gegen 1 konvegiert steht da

a^2=4

a= 2
a=-2

25.03.2016, 23:24

Mulder

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Na geht doch. Augenzwinkern

Nun soll aber natürlich noch $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ sein. Steht ja so in der Aufgabe. Also bleibt ja nur eine der beiden Lösungen übrig ...

25.03.2016, 23:27

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
ja a= 2 vielen Dank sehr gut bist du Freude

26.03.2016, 11:49

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
ich hätte noch eine frage und zwar wenn ich das mit dem verfahren (Q) mache komme ich auf
a= 1/4 und ich wollte fragen woran das liegt und welches ergebnis jetzt richtig ist ?
gerechnet habe ich so :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } inf | \frac{a_{k} }{a_{k+1} }| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } inf |\frac{\frac{a^{2k} }{k} }{\frac{a^{2(k+1)} }{k+1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } inf |\frac{k+1}{k}*\frac{1}{a^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^{2}} \lim_{n \to \infty } inf |\frac{k+1}{k}| = \frac{1}{a^{2}} \lim_{n \to \infty } inf | 1+\frac{1}{k}| = \frac{1}{a^2}*1 = \frac{1}{a^2} =4 \end{eqnarray*}$

und wenn ich die letzte gleichung auflöse nach a komme ich auf 1/4 aber warum ?

was ist jetzt richtig ? unglücklich

26.03.2016, 13:36

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
also ich komme auf $\begin{eqnarray*} a^2=\frac 1 4 \end{eqnarray*}$
Edit:

Zitat:

Ja kenne ich. Das eine ist dem Wurzelkriterium Identisch und das andere mit dem Quotintnenkriterium.

ist nicht so ganz richtig. Beide sind verwandt, aber nicht identisch.
Hier wäre $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\lim\sqrt[k]{\frac {a^{2k}}{k}}} \end{eqnarray*}$ der richtige Ansatz und das führt auf $\begin{eqnarray*} 4=\frac{1}{a^2} \end{eqnarray*}$

26.03.2016, 13:54

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Also da in meiner lösung mit der variante (w) musste ich noch ()^-1 machen und da würde auch 1/2 raus kommen. Danke Freude

26.03.2016, 13:58

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Ja, siehe meinen Edit von eben

26.03.2016, 14:52

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
kannst du mir vllt auch sagen wie ich am besten auswähle welches ich benutze (w) oder (q) form ?
und bei (Q) mache ich diese ()^-1 nicht stimmts? verwirrt

26.03.2016, 15:10

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Eine pauschale Empfehlung kann ich dir da nicht geben.
Aber ich empfehle dir, den Unterschied zwischen Konvergenzuntersuchungen bei Reihen via Quotienten- oder Wurzelkriterium und der Bestimmung des Konvergenzradius nochmal nachzulesen.
Du wirst feststellen, dass bei der Bestimmnung des Konvergenzradius immer ein Kehrwert auftaucht.

26.03.2016, 15:15

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Nur habe ich bemerkt das immer bei Konbergenzradius und Konvergenzscheibe bei der ähnlichen variante wie (w) diieser kehrwert auftaucht und nicht bei (Q) verwirrt

26.03.2016, 15:24

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Dann schau genau hin
Quotientenkriterium $\begin{align*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{align*}$
Konvergenzradius $\begin{align*} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \end{align*}$

Eine Einschränkung des Quotientenkriteriums ist natürlich, dass die Reihenglieder nicht Null sein dürfen.

26.03.2016, 15:35

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
ahhh das ist mir gar nicht aufgefallen geschockt

wow vielen dank Freude

26.03.2016, 15:44

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
aber gern Wink

27.03.2016, 09:30

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Hallo smile

also ich habe noch eine frage und zwar es wird jetzt gefragt :

i) Bestimmen Sie nun bitte die Ableitung f' von f in U4(0)
ii) Geben Sie bitte die geschlossene Form der Ableitung f' an
iii) Geben Sie bitte die geschlossene Form von f an
iv) Begründen Sie bitte ausführlich warum die f darstellende Potenzreihe im Randpunkt z=-4 Konvegiert

Also zu i) :

Ich denke ich muss jetzt für a =1/2 einsetzen und einfach die Ableitung ausrechnen :

$\begin{eqnarray*} -ln(2)*2^{1-2k} \end{eqnarray*}$

das hier habe ich raus aber ich weiß nicht ob das richtig ist und wie ich jetzt die ii) machen soll damit..

27.03.2016, 17:46

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Nachdem in deiner Ableitung kein z aber dafür ein k vorkommt, ist sie sicher falsch. Was hast du denn gerechnet?

27.03.2016, 18:37

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Naja das ist vrermutlich falsch aber ich habe einen anderen weg :

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2k} }{k} *z^{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2k} }{k} *k *z^{k-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{2k} *z^{k-1} \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich für a =1/2 eingesetzt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{2k}} * z^k *z^-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{z^k}{2^{2k}} *z^-1 \end{eqnarray*}$

und weiter komme ich nicht obwohl ich nicht mal weiß ob das alles richtig ist verwirrt

27.03.2016, 18:40

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Und wo ist die Reihe geblieben??

27.03.2016, 18:44

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
meinst du das summenzeichen ? ich habe es vergessen aber das muss natürlich immer dazu Big Laugh

27.03.2016, 18:47

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Dann schreibe es dazu und dann erkennst du vielleicht auch die geometrische Reihe

27.03.2016, 18:54

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
ahh okay Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } (\frac{z}{4})^{k} *z^-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{z}{4} } *\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{4-z} *\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{4z-z^2} \end{eqnarray*}$

und das ist die erste ableitung verwirrt

27.03.2016, 18:59

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Wieso k=0 ?

27.03.2016, 19:01

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
wow du siehst ja echt alles Big Laugh

dann würde nicht mehr als ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{4}{4z-z^2} \end{eqnarray*}$
das rauskommen sondern $\begin{eqnarray*} \frac{4}{4-z} \end{eqnarray*}$ das hier
da man die geometrische reihe bei k=0 anwendet habe ich eine indexverschiebung gemacht stimmt das jetzt ? smile

27.03.2016, 19:08

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Ich habe etwas anderes heraus bekommen.

27.03.2016, 19:12

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
was hast du denn raus ? unglücklich

habe ich es wieder falsch gemacht unglücklich

27.03.2016, 19:15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Schreib mal auf, was du gemacht hast, dann sehen wir weiter. Vielleicht habe ich mich auch verrechnet.
Edit: Bei mir steht eine 1 im Zähler.

27.03.2016, 19:21

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
hier :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } (\frac{z^{-1}}{4})^{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } (\frac{z}{4})^{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{z}{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{4-z}{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{4-z} \end{eqnarray*}$ verwirrt

27.03.2016, 19:27

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Was ist das $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } (\frac{z^{-1}}{4})^{k} \end{eqnarray*}$ denn ??

27.03.2016, 19:34

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
das kam im schritt davor zu stande :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{z}{4^k} *z^{-1} \end{eqnarray*}$

wenn ich das jetzt mal nehme kommt genau das raus und wenn ich die -1 in die summe rein nehme steht da 0 und ich kann die geometrische Summe anwenden ..

27.03.2016, 19:41

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
da müsste eine z^k im nenner sein

27.03.2016, 19:42

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Schaust du dir eigentlcih vorher an, was du da so schreibst? Das $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{z}{4^k} *z^{-1} \end{eqnarray*}$ ist doch auch wieder Unfug böse

Richtig ist
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{z^k}{4^k} *z^{-1} = \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{z^{k-1}}{4^k} =\sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{z^{k}}{4^{k+1}} =\frac 1 4 \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{z^{k}}{4^{k}} \end{eqnarray*}$

27.03.2016, 19:47

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
achja das hatte ich eigentlich gemeint tut mir leid Freude

da kommt dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4-z} \end{eqnarray*}$ stimmts ?

27.03.2016, 19:54

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
ja

27.03.2016, 19:56

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
aber bei (ii) ist gefragt das ich jetzt die geschlossene form von f' angeben soll das ist Sie doch schon verwirrt

ich weiß nicht wie ich das machen soll :/

27.03.2016, 20:03

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
wie du richtig festgestellt hast

Zitat:

Original von MH15
das ist Sie doch schon

27.03.2016, 20:11

MH15

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Das sind teilaufgaben von einer Klausuraufgabe und ich frage mich jetzt ab wann soll ich denn aufhören mit der ableitung ? und ab wann geht es los mit der geschlossenen form ? verstehst du was ich meine oder konnte ich das nicht so gut erklären ?

und zu der (iii)

wie mache ich das ? muss ich die Ableitung von der geschlossenen form machen ? verwirrt

27.03.2016, 20:16

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RE: Konvergenzradius für Parameter a
Um die Ableitung zu bestimmen, musste man nur gliedweise differenzieren.
Das ergab $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{z^{k-1}}{4^k} \end{eqnarray*}$
Darin die geometirsche Reihe zu erkennen war schon der Schritt zur geschlossenen Form. Das ergab
$\begin{eqnarray*} f'(z)=\frac{1}{4-z} \end{eqnarray*}$
Und daraus sollst du jetzt (die geschlossene Form von) f bestimmen. Das ist eine Standardaufgabe.

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