Darstellungsmatrizen

25.03.2016, 19:50

Alina H.

Darstellungsmatrizen

Meine Frage:
Ich habe bei folgender Teilaufgabe Probleme:

Für die Basen $\begin{eqnarray*} C=(a1,a2,a3)=(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C'=(b1,b2)=(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sei die lineare Abbildung f gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} \left(M\right)_{C'}^{C} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man bestimme: $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )

Meine Ideen:
Brauche ich jetzt überhaupt die Basen? Oder muss ich einfach nur $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ ) in $\begin{eqnarray*} \left(M\right)_{C'}^{C} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ "reinwerfen"? Also :

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )

25.03.2016, 20:31

Helferlein

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Dann würdest du $\begin{align*} f(5a_2+6a_3) \end{align*}$ berechnen.

25.03.2016, 20:45

Alina H.

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Hm, aber was müsste ich denn dann machen? Wäre über einen kleinen Tipp dankbar

25.03.2016, 21:06

Helferlein

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Du brauchst die Darstellung des Vektor bzgl. der Basis C.

26.03.2016, 11:26

Alina H.

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Irgendwie komme ich nicht weiter mit dem bestimmen von f.

Die Darstellungsmatrix ist ja schon gegeben. Deswegen weiß ich leider nicht, was ich mit den Basen machen soll. Muss ich hier quasi rückwärts rechen? Wenn ja wie? verwirrt

26.03.2016, 12:30

Elvis

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Zitat:

Original von Helferlein
Du brauchst die Darstellung des Vektor bzgl. der Basis C.

Jeder Vektor hat eine eindeutige Basisdarstellung. Darstellung des Vektor bzgl. der Basis C : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}=\alpha\cdot a1+\beta\cdot a2+\gamma\cdot a3 \end{eqnarray*}$

27.03.2016, 18:28

Alina H.

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Zitat:

Original von Elvis

Zitat:

Original von Helferlein
Du brauchst die Darstellung des Vektor bzgl. der Basis C.

Das heißt also ich muss ein LGS aufstellen und nur nach \alpha,\beta,\gamma auflösen?
Was muss ich denn dann mit den errechneten Variablen machen?

Verstehe dann trotzdem nicht warum ich das machen soll. Hat jemand vielleicht gerade was da zum nachlesen?

LG

27.03.2016, 19:11

Elvis

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Die Matrix sagt, dass a1 auf b1, a2 auf -b1+b2, a3 auf b1+b2 abgebildet wird. Nachdem du alpha, beta, gamma berechnet hast, ist klar, wohin die lineare Abbildung f den fraglichen Vektor abbildet. Damit ist deine Ausgangsfrage beantwortet. Lies ein Skript Lineare Algebra I, da steht das und noch viel mehr drin. Zum Beispiel hier: http://www.math.uni-tuebingen.de/user/de...3-14/index.html

27.03.2016, 19:40

Alina H.

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Irgendwie werde ich nicht schlauer unglücklich

Also ich habe mal einfach das LGS gelöst. Ich bekomme für alpha =beta = gamma =1 raus. Aber inwiefern sehe ich jetzt wohin meine lin. Abb. f nun den Vektor abbildet?

Kann man mir das an diesem Beispiel vielleicht etwas genauer erläutern? Verstehe nämlich zum Beispiel nicht, warum die Matrix besagt, dass a1 auf b1, a2 auf -b1+b2 usw. abgebildet wird.

Das wäre echt super smile

Mir geht's hier nicht einfach um die Lösung der Aufgabe, sondern vielmehr um das verstehen des Sinns dahinter.

27.03.2016, 19:47

Helferlein

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Die Matrix bildet einen Koordinatenvektor bzgl. der Basis C auf einen Koordinatenvektor der Basis C' ab.
Gegeben ist aber ein Vektor bzgl. der Standardbasis.

27.03.2016, 19:57

Alina H.

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Das kann ich noch nachvollziehen (steht ja so in der Aufgabe).

Ich verstehe aber einfach nicht die Lösungsschritte.

Z.b. weiß ich nicht, was mir nun meine Lösung mit alpha=beta=gamma=1 bringt bzw. was sagt dass denn aus? Kann mir nicht vorstellen, dass das die gesamte Aufgabe war Hammer

27.03.2016, 22:29

Helferlein

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So richtig hast Du die Bedeutung eben nicht begriffen.
Du hast den Koordinatenvektor bzgl. C berechnet. Dieser wird nun mittels der Matrix auf den Koordinatenvektor von C' abgebildet, woraus Du dann schlussendlich das gesuchte Bild bzgl. der Standardbasis erhältst.

28.03.2016, 10:49

Elvis

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Ganz konkret: f ist linear, also ist f(1*a1+1*a2+1*a3)=1*f(a1)+1*f(a2)+1*f(a3). Jetzt kannst du weiter rechnen, und damit du versteht, was da vorgeht, musst du die Theorie der Vektorräume, Basen, linearen Abbildungen und Matrizen studieren, mit "einem Wort": Lineare Algebra I".

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