Untergruppe, Sn, Permutation

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Untergruppe, Sn, Permutation
Meine Frage:
Hallo,
die Aufgabenstellung lautet:

(G, o) = (Sn, o); G ist Gruppe

H = {f E Sn| f(k) gerade für alle geraden k E {1, ..., n}}

(E= element von)

Frage: Ist H Untergruppe von G?


Meine Ideen:
Ich habe schon viel recherchiert im Inet und bin jetzt verwirrt.
Ich nehm an, dass k irgendwas mit der Anzahl der Fehlständen der Permutationen zu tun hat. Was Permutationen sind habe ich rausgefunden. Fehlstände auch.
Ich verstehe aber nicht, welche auswirkungen k auf Sn hat. Ich habe herausgefunden, dass H nur dann eine Untergruppe bildet, wenn k eben gerade ist.
Aber wieso?

UG Kriterien:
a) e E H
b) a,b E H -> aob E H
c) Inverse von a auch E H

Das muss alles erfüllt werden.

e ist Vorhanden, für die id (Identitätsabbildung) in Sn. Bsp S3: (123) -> (123)

Bitte um Hilfe !!

danke
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RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Wer soll denn das entziffern? Der Formeleditor und die Vorschau sind deine Freunde.
Solarzelle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Sorry, bin zum ersten Mal hier. Habe es, so gut es geht, verbessert.
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RE: Untergruppe, Sn, Permutation
k hat überhaupt keine Auswirkung auf S_n, es nur eine Hilfsgröße, mit der man die Elemente von H beschreiben kann. Sie könnte genauso gut m oder t heißen.
Was also ist H? S_n sind die Bijektionen von auf sich, also primär Abbildungen.
sind diejenigen Abbildungen aus S_n, die eine gerade Zahl auf eine gerade Zahl abbilden. Mehr steckt nicht dahinter.
Solarzelle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Aah, ok. D.h. die 2 zum Bsp auf die 4, die 4 auf die 2, oder auf die 6.. ok.

also dann zu a)
e ist enthalten in H, wenn die 1 auf die 1, die 2 auf die 2, die 3 auf die 3.. Dadurch wird die Voraussetzung für k nicht verletzt.

Wie zeige ich b) ?

Bsp (1,3,5)(4)(2)o(5,3)(1)(4,2) = (1,3)(2,4)(5)

also, dass immer noch jedes gerade k auf eine gerade Zahl und ein ungerades k auf eine ungerade Zahl abgebildet wird?
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RE: Untergruppe, Sn, Permutation
wenn k gerade ist, was weißt du dann über b(k)? und was gilt dann für a(b(k)) ?
 
 
Solarzelle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe, Sn, Permutation
b(k) ist dann auch gerade. genauso wie a(b(k)). Das habe ich ja oben schon gezeigt mit einem Beispiel. oder?

wenn k ungerade, dann auch b(k) ungerade.
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RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Ein Beispiel kann dir eine Idee geben, wie etwas zu beweisen ist oder eine Behauptung widerlegen.
Es kann in keinem Fall ein Beweis sein!
Aber den habe ich dir ja gerad auf dem Silbertablett serviert.
Solarzelle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Ja, stimmt, ist mit bewusst.
Also: Für k ungerade folgt f(k) ungerade. nun ist f(k) ungerade. Für g(f(k)) mit f(k) = ungerade, ist nach dem selben schema folglich g(f(k)) ungerade.
dasselbe gilt für gerade k. also ist g(k)o f(k) dementsprechend in H enthalten.

c)
Ich kann irgendwie kein Bild einfügen, aber hier: de.wikipedia.org/wiki/Permutation#Inverse_Permutation
Sieht man gut wie das mit dem Inversen funktionieren soll.
f^(-1)(k) hat das gleiche Verhälniss vom ungeraden/ geraden k zu sich selbst wie f(k)
d.h. f^(-1)(k) ist gerade/ungerade für k gerade/ungerade

also ist f^(-1) H
Solarzelle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe, Sn, Permutation
was meinst du dazu URL?
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RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Um die ungeraden k musst du dich nicht kümmern, sie werden in der Definition von H nicht betrachtet.
Aber wenn du es schon tust (und das kann man für die Inverse nutzen): Wie begründest du
Zitat:
Für k ungerade folgt f(k) ungerade.
?
Solarzelle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Gegeben:
H = {f E Sn| f(k) gerade für alle geraden k E {1, ..., n}}

für k nicht gerade, folgt k = ungerade.
f(k) dann gerade, wenn k gerade.
Wenn k nicht gerade, folgt, dass f(k) nicht gerade.
Sonst würde es nicht heißen f(k) gerade für alle geraden k E {1, ..., n}.
Wenn f(k) auch für ungerade k gerade wäre, dann müsste die Angabe anders lauten. oder?
also ist f(k) ungerade für alle ungeraden k
Solarzelle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe, Sn, Permutation
aber du hast Recht damit, dass die Angaben für ungerade k garnicht gefragt sind.
also könnten wir das so unformulieren:

b)
Für k gerade folgt f(k) gerade. nun ist f(k) gerade. Für g(f(k)) mit f(k) = gerade, ist nach dem selben schema folglich g(f(k)) gerade.
also ist g(k)o f(k) dementsprechend in H enthalten.

c)
Ich kann irgendwie kein Bild einfügen, aber hier: de.wikipedia.org/wiki/Permutation#Inverse_Permutation
Sieht man gut wie das mit dem Inversen funktionieren soll.
f^(-1)(k) hat das gleiche Verhälniss vom geraden k zu sich selbst wie f(k)
d.h. f^(-1)(k) ist gerade für k gerade

also ist f^(-1) H
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RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Nein, das ist so nicht richtig. Die Definition von H besagt nur, dass jede gerade Zahl auf eine gerade Zahl abgebildet wird. Das würde zunäcshst auch erlauben, dass 1 auf 2 abgebildet wird.
Solarzelle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe, Sn, Permutation
aber 1 ist doch nicht gerade !?
Solarzelle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe, Sn, Permutation
achso, du meinst das schließt nicht aus, dass eine ungerade Zahl auf eine gerade abgebildet wird.. hm.. ok. ich verstehe, dann lassen wir dass mit den ungeraden k's
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RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Ja, und? Es ist nur gefordert, dass jede gerade Zahl auf eine gerade Zahl abgebildet wird. Es wird zunächst nichts darüber ausgesagt, was mit ungeraden Zahlen passiert.
Du musst jetzt mit der Bijektivität argumentieren, dass dann in der Tat jede ungerade Zahl auf eine ungerade abgebildet wird.
Solarzelle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Achsooo, ja klar.
Solarzelle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Laut der Bijiktivität, kann eine Zahl nur auf EINE andere abgebildet werde. BZW jedes f(k) hat nur ein k Also könnennicht die 1 und die 2 auf die 4 abgebildet werden

Daraus folgt, dass die ungeraden ks auf ungerade Zahlen abgebildet werden müssen, weil ihnen nichts anderes übrig bleibt :P
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RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Zitat:
Laut der Bijiktivität, kann eine Zahl nur auf EINE andere abgebildet werde.

Das hat überhaupt nichts mit Bijektivität zu tun. Es ist schlicht eine Eigenschaft jeder Funktion.

Zitat:
BZW jedes f(k) hat nur ein k Also könnennicht die 1 und die 2 auf die 4 abgebildet werden

Das ist die Injektivität.
Warum gibt es z.B. ein gerades k mit f(k)=2? Wenn es das nämlich nicht gibt, könnte sehr wohl f(1)=2 sein.
Solarzelle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe, Sn, Permutation
... ok.
GENAU ein k für jedes f(k). Dass es bei einer symmetrischen Gruppe mindestens eine Abbildung gibt, ist ja klar. Deshalb habe ich es direkt auf die Sn bezogen und "nur ein k" geschrieben.

Ausschlaggebend ist nicht, dass es ein f(k)=2 gibt, sondern dass ein f(2)=2/4/6.. ist
und wenn in S6 f(2)=4 f(4)=6 und f(6)=2 ist (beispielsweise). Dann muss f(1)=1/3/5 sein bzw f(k=ungerade)=1/3/5
Es kann auch f(1)=2 sein, das stimmt. Ist aber wurscht. Hauptsache "f(gerade)=gerade". Und dass soll für UG b) und c) so bleiben. ob f(1) im Inversen gerade oder ungerade ist, ist uns egal.
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RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Zitat:
Es kann auch f(1)=2 sein, das stimmt. Ist aber wurscht.

Nein, f(1)=2 kann nicht sein. Sonst wäre und damit
Du darfst jetzt begründen, warum das nicht sein kann.
Solarzelle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe, Sn, Permutation
f(k) gerade für gerade k {1,..,n}
Bsp: S_6
2 geht auf 4 oder 6 oder 2. Da 2 gerade ist und k.
Daraus folgt, dass die 2,4 und 6 nicht auf eine ungerade Zahl abgebildet werden können.
Was bleibt uns in S6 übrig? f(1), f(3) und f(5). Diese können nurnoch auf 1, 3 oder 5 abgebildet werden, wegen der bijektivität.
-->
f(2)=2/4/6
f(4)=2/4/6
f(6)=2/4/6

f^(-1)(2)=2/4/6
f^(-1)(4)=2/4/6
f^(-1)(6)=2/4/6

immernoch gilt: f(k) gerade für k gerade
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RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Das musst du jetzt noch für den allgemeinen Fall beweisen.
Solarzelle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Für gerade k's (k1) folgt f(k1)=X1(gerade Zahl). Wegen der bijektivität von Sn folgt für ungerade k's (k2) f(k2)= X2 (ungerade Zahl). f^(-1)(X2)=k2. f^(-1)(X1)=k1. --> Auch im Inversen werden gerade Zahlen auf gerade und ungerade Zahlen auf ungerade abgebildet. --> f^(-1) \in H

Danke für die Hilfe URL.
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RE: Untergruppe, Sn, Permutation
Zitat:
Wegen der bijektivität von Sn folgt für ungerade k's (k2) f(k2)= X2 (ungerade Zahl).

S_n ist nicht bijektiv, es ist eine Menge, keine Abbildung. Die Elemente von S_n sind Bijektionen.
Die zitierte Aussage ist schon richtig. Ob es dem Korrektor einer Übungsaufgbe reicht, wirst du dann sehen Augenzwinkern
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