Besondere Blockmatrix, Eigenwerte

27.03.2016, 11:26	Imladris	Auf diesen Beitrag antworten »
Besondere Blockmatrix, Eigenwerte Mich interessieren rein die vorzeichen der Realteile der Eigenwerte der Matrix $\begin{eqnarray} M = \begin{pmatrix} 0 & A \\<br /> I & 0 <br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und ich weiß, dass die Realteile der Eigenwerte von A positiv sind, I soll die nxn Identitätsmatrix sein, A ist aus $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{n x n} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen Ich habe es mal mit kleinen Matrizen ausprobiert und zumindest für kleine Matrizen (n=1, n=2) lässt sich beweisen, dass die Eigenwerte von M genau $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{\lambda_{i}} \end{eqnarray}$ sind, wenn $\begin{eqnarray} \lambda_{i} \end{eqnarray}$ die Eigenwerte von A sind. Ich habe also die Annahme, dass das für alle n wahr ist. Ich habe versucht es straeight forward zu beweisen (induktiv) indem ich die Determinante von M - k I berechne. Das hat mich nach ein paar Seiten sehr unglücklich gemacht, weil ich nicht wirklich diese schöne Stelle habe, wo man sagen kann: so hier weiß ich es aus dem n-1 dimensionalen Fall, also kann ich alles einsetzen und es kommt das Richtige heraus^^ Meine Frage an euch an dieser Stelle ist: Ist mein Ansatz gut und ich sollte einfach länger durchhalten? Oder ist vielleicht meine Annahme nur für kleine n wahr und es lässt sich deshalb nicht beweisen? Oder ist es ein bisschen komplizierterer Beweis - falls dem so ist, müsste das doch irgendwann mal ein kluger Mathematiker bewiesen haben: Wisst ihr zufällig wo man den Beweis dann finden kann?
27.03.2016, 11:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: besondere Blockmatrix Eigenwerte Ich denke nicht das Induktion hier eine besonders gute Idee ist. Warum hast du ja selbst gesehen. Wenn du selbst an einer Alternative überlegen willst, lies lieber nicht weiter: $\begin{eqnarray} M - \lambda I_{2n \times 2n} = \begin{pmatrix} -\lambda I & A \\ I & -\lambda I\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das schreit gerade zu nach dem Gauß-Algorithmus. Damit sieht man sofort $\begin{eqnarray} p_M(\lambda) = p_A(\lambda^2) \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} p_X \end{eqnarray}$ das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ bezeichne.
27.03.2016, 17:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: besondere Blockmatrix Eigenwerte Alternativ kann man auch die Blockstruktur nutzen: Für $\begin{eqnarray} u,v\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x:=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2n} \end{eqnarray}$ liefert die Eigenwertbedingung $\begin{eqnarray} Mx=\begin{pmatrix}Av\\u\end{pmatrix}\stackrel{!}{=}\lambda \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
29.03.2016, 09:24	Imladris	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: besondere Blockmatrix Eigenwerte Hallo ihr zwei! Danke, da hab ich ja sogar zwei Ansätze bekommen Dein Ansatz, URL, leuchtet mir total ein. Mit dem komme ich super klar! Danke dir! IfindU: Deine Schlussfolgerung sehe ich leider nicht so schnell wie du^^ Sorry. Gauß hatte ich auch schon versucht, aber ich muss dann ja immer entwickeln $\begin{eqnarray} p_{M}(\lambda) = -\lambda \cdot det(U_{1}) + 1 \cdot (-1)^{n+1} det(V_{1}) \end{eqnarray}$ wobei U_1 die Matrix ist, in der die erste zeile und die erste Spalte gestrichen wurden und V_1 die Matrix, in der die 1. Spalte und die n+1te Zeile gestrichen werden. U_1 teilt sich dann auch wieder auf, weil wir ja wieder ein - $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und eine 1 verbauen müssen, V_1 ebenfalls und so geht das dann immer weiter. Ich seh wahrscheinlich den Wald vor lauter Bäumen nicht, aber wie kamst du so superschnell auf den Zusammenhang $\begin{eqnarray} p_{M}(\lambda)=p_{A}(\lambda^{2}) \end{eqnarray}$ ? Wäre total lieb, wenn du mir noch einen Hinweis gibst, ich würde gerne beide eure Ansätze verstehen Vielen Dank schon mal!
29.03.2016, 10:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: besondere Blockmatrix Eigenwerte Ich glaube du verwechselst gerade Laplace mit Gauß. Ich meinte das $\begin{eqnarray} \frac 1 \lambda \end{eqnarray}$ -fache der ersten Blockzeile auf die zweite drauf addieren. Das ändert die Determinante nicht und dann kann man die Formel $\begin{eqnarray} \det \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} = \det A \cdot \det D \end{eqnarray}$ anwenden, wenn $\begin{eqnarray} A,B, D \end{eqnarray}$ quadratische Matrizen (gleicher Größe) sind. Die Formel $\begin{eqnarray} \det \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} = \det A \cdot \det D \end{eqnarray}$ ist motiviert durch den skalaren Fall $\begin{eqnarray} \det \begin{pmatrix} a & b \\ c& d \end{pmatrix} = ad -bc \end{eqnarray}$ , wobei leider NICHT gilt $\begin{eqnarray} \det \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det A \cdot \det D - \det B \cdot \det C \end{eqnarray}$ , aber wenigstens der Spezialfall, wenn man eine 0 hat.
30.03.2016, 14:48	Imladris	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: besondere Blockmatrix Eigenwerte oh, das ist ja total genial tolle Idee! Dann erhalte ich als charakteristisches Polynom $\begin{eqnarray} (- \lambda)^{n}\prod_{i=1}^{n}(\frac{k_{i}}{\lambda} - \lambda) = \prod_{i=1}^{n} (k_{i} - \lambda^{2}) \end{eqnarray}$ und bin glücklich Danke dir! ach ja... Namen von Mathematikern konnte ich noch nie auseinander halten... Schande über mich
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30.03.2016, 14:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: besondere Blockmatrix Eigenwerte Ich fürchte du hast ein Minus vergessen auf der rechten Seite (und bei meiner Aussage zu den charakteristischen Polynomen fehlt wohl auch noch ein Faktor $\begin{eqnarray} (-1)^n \end{eqnarray}$ ). Da einen nur die Nullstellen interessieren, ist es zwar nicht von Belang, aber leider dennoch nicht "richtig" Und Namen üben lohnt sich wohl, wenn man bedenkt, dass die meisten Sätze der Mathematik nach Mathematikern benannt sind
12.04.2016, 15:19	Imladris	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: besondere Blockmatrix Eigenwerte alles klar, danke dir!

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