LGS: 3Ebenen; Schnittpunkt oder Schnittgerade?

29.03.2016, 20:45

Abiturient mit Frage

LGS: 3Ebenen; Schnittpunkt oder Schnittgerade?

Meine Frage:
Hallo Mathefreunde, ich habe hier eine Abiaufgabe von 2011; Pflichtteil
(I) -5x1 + x2 - 3x3 = 7
(II) 5x1 - 3x2 - x3 = -11
(III) x1 + x3 = -1

Die Lösung sagt nun, die Ebenen schneiden sich in der Geraden
IL = { (-1 - t ; 2 - 2t ; t) mit t Î IR}

Ich habe die Gleichung ein wenig anders umgestellt, und bei mir ergab sich der Punkt (0/4/-1) als Schnittpunkt. Dieser Punkt liegt ja auch auf der Schnittgeraden.

Meine eigentliche Frage ist, woher weiß ich, ob sich 3 Ebenen in einem Punkt oder einer Geraden schneiden, da ich ja beim LGS einen Punkt ausgerechnet habe, obwohl es sich um eine ganze Schnittgerade handelt.
Muss ich bei jeder Gleichung also prüfen, ob sich 0=0 ergibt?

Vielen Dank im voraus

Meine Ideen:
Dies war die Musterlösung
(I) -5x1 + x2 - 3x3 = 7
(II) 5x1 - 3x2 - x3 = -11
(III) x1 + x3 = -1
(IV) -5x1 + x2 - 3x3 = 7
(V) = (I) + (II): -2x2 - 4x3 = - 4
(VI) = (I) + 5·(III): x2 + 2x3 = 2
(VII) -5x1 + x2 - 3x3 = 7
(VIII) -2x2 - 4x3 = - 4
(IX) = (V) + 2·(VI): 0× x3 = 0

29.03.2016, 21:21

Bjoern1982

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Zitat:

Ich habe die Gleichung ein wenig anders umgestellt

Welche Gleichung, da sind so einige. Augenzwinkern

Zitat:

und bei mir ergab sich der Punkt (0/4/-1) als Schnittpunkt.

Hast du dir da irgendeine Koordinate vorgegeben oder wie ist dieser Punkt entstanden ?

Zitat:

woher weiß ich, ob sich 3 Ebenen in einem Punkt oder einer Geraden schneiden

Wenn sich die 3 Ebenen in genau einem Punkt schneiden, dann gibt es auch nur genau eine Lösung.
Wenn sich die 3 Ebenen in einer Geraden, also unendlich vielen Punkten, schneiden, dann gibt es auch unendlich viele Lösungen.
Die Lösungsmenge wird bei einer Schnittgeraden immer von genau einem Parameter abhängen.
Denkbar wäre es ja auch, dass alle 3 Ebenen identisch sind, dann würde die Lösungsmenge sogar von genau zwei Parametern abhängen.

29.03.2016, 21:55

Abiturient mit Frage

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Es handelt sich um die ersten drei Gleichungen, die da stehen.

Ich habe die erste Gleichung 3 mal genommen und mit der zweiten Gleichung addiert, sodass x2 wegfällt. Es ergab sich 10x2 - 10 x3 = 10
diese Gleichung hab ich dann mit 10x1 + 10x3 = -10, subtrahiert, sodass sich

-20x3=20 ergab, also ist doch x3=-1.

Danach hab ich durch einsetzen von x3 in die obere Gleichung x1=0 erhalten und danach noch x2=4

29.03.2016, 22:02

Bjoern1982

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Zitat:

Es ergab sich 10x2 - 10 x3 = 10

Es muss -10x1-10x3=10 lauten. Wink