Beweis: Satz von Conway

31.03.2016, 13:21

Trixi95

Beweis: Satz von Conway

Zeigen Sie den Satz von Conway: Sei ABC ein Dreieck mit den Seitenlängen a,b und c. Auf den Trägergeraden der Seiten AC und BC tragen wir von C aus "nach außen" die Strecke der Länge c ab und erhalten sie die Punkte Ca und Cb; dasselbe analog für die anderen Eckpunkte.
Ziegen sie dass die Punkte Ab,Ac,Ba,Bc, Ca und Cb auf einem Kreis liegen.

Die graphische Zeichnung dazu konnte ich erstellen und es zeigt sich dadurch aus, dass der Umkreismittelpunkt des Kreises ABC auch der Umkreismittelpunkt des "neuen" Kreises ist. Was ist jedoch der korrekte Beweis dazu?

31.03.2016, 14:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Trixi95
und es zeigt sich dadurch aus, dass der Umkreismittelpunkt des Kreises ABC auch der Umkreismittelpunkt des "neuen" Kreises ist.

Das ist falsch - richtig ist: Der Inkreismittelpunkt von ABC ist der Umkreismittelpunkt des neuen Kreises.

31.03.2016, 14:06

Trixi95

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Ok. Wie könnte man dies nun konkret argumentieren?

31.03.2016, 14:15

HAL 9000

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Indem du zeigst, dass alle Mittelsenkrechten benachbarter Punkte deines Sechsecks durch den Inkreismittelpunkt $\begin{align*} I \end{align*}$ des Dreiecks ABC verlaufen. Das bedeutet dann nämlich, dass diese beiden Punkte zusammen mit $\begin{align*} I \end{align*}$ jeweils ein gleichschenkliges Dreieck mit Spitze bei $\begin{align*} I \end{align*}$ bilden, und somit insbesondere die beiden Schenkel gleichlang sind.

Für diesen Nachweis wird genutzt, dass der Inkreismittelpunkt $\begin{align*} I \end{align*}$ der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden an den drei Eckpunkten $\begin{align*} A,B,C \end{align*}$ ist.

31.03.2016, 17:48

Leopold

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Ich habe einmal den Radius $\begin{align*} s \end{align*}$ des Conway-Kreises ausgerechnet:

$\begin{align*} s = \sqrt{ab + ac + bc - 4 r \varrho} \end{align*}$

wobei $\begin{align*} r,\varrho \end{align*}$ der Um- bzw. Inkreisradius von $\begin{align*} ABC \end{align*}$ seien.

31.03.2016, 17:57

HAL 9000

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Aus der Skizze direkt sieht man $\begin{align*} s = \sqrt{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2 + \varrho^2} \end{align*}$ .

P.S.: Ich hätte ja gern wie üblich Symbol $\begin{align*} s \end{align*}$ für den halben Umfang genommen, aber ... Big Laugh

31.03.2016, 18:13

Leopold

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Aber bei $\begin{align*} r \end{align*}$ hattest du zunächst keine Skrupel. Big Laugh

31.03.2016, 18:31

HAL 9000

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Versteh ich jetzt nicht. Erstaunt1

Einem Leopold, der gern mal Summationsindex $\begin{align*} x \end{align*}$ oder Integrationsvariable $\begin{align*} k \end{align*}$ kritisiert, darf man schon mal für seine nicht konventionsgerechte Verwendung der normalerweise im Dreieck "belegten" Symbole $\begin{align*} s \end{align*}$ für halben Umfang und $\begin{align*} r \end{align*}$ für Inkreisradius die Ohren langziehen. Lehrer

01.04.2016, 20:43

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Versteh ich jetzt nicht. Erstaunt1

Na ja, vor dem Edit stand da $\begin{align*} r \end{align*}$ . Und das habe ich erst nicht verstanden. Mir war denn schnell klar, daß du den Pythagoras angewandt haben mußtest, es also $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ zu heißen hatte. Inzwischen hattest du wohl, noch bevor ich meinen Beitrag abgeschickt hatte, $\begin{align*} r \end{align*}$ durch $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ ersetzt.
Was die Symbolik angeht, so sind mir $\begin{align*} r,\varrho \end{align*}$ für Um- und Inkreisradius geläufig. Ich kenne auch $\begin{align*} R,r \end{align*}$ . Das besteht wohl nebeneinander.

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