Doppelintegral, Vertauschen

31.03.2016, 22:48

StrunzMagi

Doppelintegral, Vertauschen

Meine Frage:
Beim Vertauschen von zwei Integralen wird häufig in Texten zitiert:" Die Vertauschung der Integrationsreihenfolge, die hierbei vorgenommen wurde, ist wegen der absoluten Konvergenz der Integrale möglich." Nun was hat die absolute Konvergenz der Integrale damit zu tun, dass man die Integrale vertauschen darf?

Meine Ideen:
Als beispiel: $\begin{eqnarray*} \int_0^s \int_0^{\infty} e^{-xt^2} * sin(x) dt dx \end{eqnarray*}$
Bekannt ist $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{-xt^2} dt = 1/2 \sqrt{\frac{\pi}{x}} \end{eqnarray*}$
Nun will ich die Integrationsreihenfolge vertauschen.

Nach Satz in der Vorlesung:
Seien $\begin{eqnarray*} [a,b] \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [c,d] \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kompakte Intervalle und
$\begin{eqnarray*} f:[a,b] \times [c, d] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion ist gilt $\begin{eqnarray*} \int_c^d \int_a^b f(x,y) dx dy = \int_a^b \int_c^d f(x,y) dy dx \end{eqnarray*}$

EDIT: Aufgabenstellung korregiert

01.04.2016, 11:03

Guppi12

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Hallo Strunzmagi,

das ist der Satz von Tonelli (oder Fubini-Tonelli). Du kannst ihn zum Beispiel bei Wikipedia als Unterpunkt zum Satz von Fubini nachschlagen.

In deinem Beispiel kannst du natürlich nicht ohne weiteres die Reihenfolge tauschen, weil das äußere Integral eine variable Grenze hat. Die müsstest du vor dem Vertauschen erst loswerden.

Edit: Bei näherer Betrachtung fällt mir auf, dass dein Integral so garkeinen Sinn macht. Schau dir nochmal genau an, ob du dich nicht vertippt hast.

01.04.2016, 11:38

HAL 9000

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Hinsichtlich deines letzten Edits - ist mir auch gerade aufgefallen: Nach üblicher Lesart ist das äußere Integral $\begin{align*} \int\limits_0^s \ldots \dd s \end{align*}$ und das innere $\begin{align*} \int\limits_0^{\infty} \ldots \dd t \end{align*}$ . Wenn wir mal darüber hinwegsehen, dass beim äußeren Integral Grenzen und Integrationsvariablensymbol eigentlich nicht kollidieren sollten, dann kommt in einem ersten Schritt sofort

$\begin{align*} \int\limits_0^s \int\limits_0^{\infty} e^{-xt^2} \sin(x)~ \dd t ~ \dd s = s\cdot\sin(x)\cdot \int\limits_0^{\infty} e^{-xt^2} ~ \dd t \end{align*}$

heraus. verwirrt

Möglicherweise ist jedoch $\begin{align*} \dd x \end{align*}$ statt $\begin{align*} \dd s \end{align*}$ gemeint, das muss der Threadersteller klären.

01.04.2016, 19:41

StrunzMagi

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Genau ein dx muss da hin!

Ich will $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty sin(u^2) du \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Bekanntlich ist $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{-xt^2} dt = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{x}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty sin(u^2)du= \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{sin(x)}{x^{1/2}} dx \end{eqnarray*}$ mittels Subsitution: $\begin{eqnarray*} u^2=x, 2udu=dx \end{eqnarray*}$
D.h. $\begin{eqnarray*} \int_0^s \frac{sin(x)}{\sqrt{x}} dx = \int_0^s (\frac{2}{\sqrt{\pi}} *\int_0^\infty e^{-xt^2} dt) *sin(x) dx = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^s ( \int_0^{\infty} e^{-xt^2}* sin(x) dt) dx \end{eqnarray*}$
Nun wollte ich eben wissen wann ich die Integrationsgrenzen vertauschen darf!
Warum scheitert da der Satz von Fubini? Wegen der Unendlich-Grenze?

02.04.2016, 01:06

Guppi12

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Zunächst sollten wir uns klar machen, dass wir hier ein uneigentliches Riemann-Integral betrachten. Als Lebesgueintegral existiert der ganze Spaß garnicht.

Für festes $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ kannst du nun sehr wohl in der untersten Zeile den Satz von Tonelli anwenden. Wer hat gesagt, dass das scheitert? Ich jedenfalls nicht.

Du musst eben nur die Voraussetzung prüfen, dass

$\begin{eqnarray*} \int_0^s\int_0^\infty |e^{-xt^2}\sin(x)|\dd t\dd x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\int_0^s |e^{-xt^2}\sin(x)|\dd x\dd t \end{eqnarray*}$ endlich ist. Ich würde an deiner Stelle letzteres zeigen.

02.04.2016, 11:50

StrunzMagi

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Hallo,
ZZ.: $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\int_0^s |e^{-xt^2}\sin(x)|\dd x\dd t \end{eqnarray*}$ endlich
$\begin{eqnarray*} I:= \int_0^s | e^{-xt^2} \sin(x)| dx = -\frac{e^{-t^2 x}}{t^2}|sin(x)| + \frac{1}{t^2} \int e^{-t^2 x} |cos(x)| dx= \frac{- e^{-t^2 x}}{t^2} |sin(x)| + \frac{1}{t^2} ( \frac{- e^{-t^2x}*|cos(x)|}{t^2}- \frac{1}{t^2} \int e^{-t^2 x} |sin(x)| dx) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I= \frac{-e^{-t^2 x} (t^2 |sin(x)|+|cos(x)|)}{t^4+1} \end{eqnarray*}$

Grenzen einsetzten:
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\int_0^s |e^{-xt^2}\sin(x)|\dd x\dd t = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty \frac{-e^{-t^2 s} (t^2 |sin(s)|+|cos(s)|)}{t^4+1} +\frac{1}{t^4+1} dt \end{eqnarray*}$
Aus vorgigen Bsp kann ich $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \frac{1}{t^4+1} dt= \frac{1}{2 \sqrt{2}} \pi \end{eqnarray*}$ integrieren und ausrechnen.
Aber weiter weiß ich nicht wirklich, auch nicht ob ich überhaupt das integral auseinanderziehen darf!

02.04.2016, 11:52

Guppi12

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Wenn mich nicht alles täuscht, kannst du die partielle Integration hier nicht anwenden, zumindest nicht so einfach, weil die Voraussetzungen dafür nicht erfüllt sind. Du könntest aber zum Beispiel $\begin{eqnarray*} |\sin(x)|\leq x \end{eqnarray*}$ abschätzen.

Edit: Ich glaube die Abschätzung $\begin{eqnarray*} |\sin(x)|\leq 1 \end{eqnarray*}$ reicht sogar auch.

02.04.2016, 15:00

StrunzMagi

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Welche Voraussetzung ist denn nicht erfüllt um partiell zu integrieren? Mittels partielle Integration kann ich dann nur das gewünschte Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\int_0^s e^{-xt^2}\sin(x)\dd x\dd t \end{eqnarray*}$ ausrechnen( wenn ich gezeigt habe, dass man die Integralgrenzen vertauschen darf). Hängt dein Einwand mit dem betrag zusammen?

Ich glaub ich hab mich da geirrt:
Wenn ich $\begin{eqnarray*} |\sin(x)| \le 1 \end{eqnarray*}$ verwende bekomme ich $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\int_0^s |e^{-xt^2}\sin(x)|\dd x\dd t \le \int_0^{\infty} \int_0^s e^{-xt^2} dx dt = \int_0^{\infty} -t^{-2} e^{-t^2*s} + t^{-2} dt \le \int_0^\infty 0=0 \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} s>0 \Rightarrow e^{-t^2*s} \le 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \le t \le \infty \end{eqnarray*}$

02.04.2016, 15:06

Guppi12

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Zitat:

Hängt dein Einwand mit dem betrag zusammen?

Ja, du müsstest dafür die Voraussetzungen genau nachschlagen. Dann siehst du, dass sie hier nicht erfüllt sind. Zumindest nicht ohne weiteres.

Die letzte Abschätzung in deiner Rechnung ist nicht richtig. Beachte, dass ein Minuszeichen die Ungleichung umdreht.

Hier würde ich an deiner Stelle zeigen, dass sich der Integrand stetig in 0 fortsetzen lässt. Somit ist die Integration über ein kompaktes Intervall kein Problem und du musst nur noch zeigen, dass der Integrand auch im Unendlichen genügend schnell abfällt.

02.04.2016, 17:12

StrunzMagi

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Ah danke! Ja die stetige Differenzierbarkeit bei der Partiellen Integration hab ich ganz vergessen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\rightarrow 0} \frac{-e^{-t^2}+1}{t^2} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=-t^2 \end{eqnarray*}$ , Da wenn $\begin{eqnarray*} t\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ folgt auch $\begin{eqnarray*} x\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ .
Integrand lässt sich also mit 1 stetig in t=0 fortsetzen.
Es genügt daher, den Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{R\rightarrow \infty} \int_a^{R} \frac{-e^{-t^2}+1}{t^2} dt \end{eqnarray*}$ zu untersuchen für ein festes $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ (hier $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} \frac{-e^{-t^2}+1}{t^2}< \frac{1}{t^2} \end{eqnarray*}$
Das Integral $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} \frac{dt}{t^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert und demnach auch unser zu untersuchendes Integral.

02.04.2016, 17:30

Guppi12

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Genau, sehr gut! Freude

(Eigentlich fehlt da irgendwo ein s, das geht aber dann genauso.)

02.04.2016, 17:58

StrunzMagi

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Supa, danke!
Es heißt dann doch aber $\begin{eqnarray*} \lim_{t\rightarrow 0} \frac{-e^{-st^2}+1}{t^2} = s\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=s \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=-st^2 \end{eqnarray*}$ , Da wenn $\begin{eqnarray*} t\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ folgt auch $\begin{eqnarray*} x\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ .

Nun hab ich aber versucht das Integral(mit den vertauschten Integrationsgrenzen) auszurechnen wie schon im Beitrag zuvor (ohne den betrag).
Ich erhalte
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\int_0^s e^{-xt^2}\sin(x)\dd x\dd t=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty \frac{-e^{-t^2 s} (t^2 sin(s)+cos(s))}{t^4+1} +\frac{1}{t^4+1} dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{\pi}} \lim_{R\rightarrow \infty} \int_0^R \frac{-e^{-t^2 s} (t^2 sin(s)+cos(s))}{t^4+1}dt + \int_0^R \frac{1}{t^4+1} dt \end{eqnarray*}$
Ich weiß aus vorigen Bsp.,den Wert des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_0^R \frac{1}{t^4+1}dt \end{eqnarray*}$ .

Ich habe nun überlegt: $\begin{eqnarray*} \lim_{s \rightarrow 0} \int_0^\infty \frac{-t^2*sin(s)-cos(s)}{t^4+1}*e^{-st^2} dt= \int_0^{\infty} \lim_{s\rightarrow 0} \frac{-t^2*sin(s)-cos(s)}{t^4+1}*e^{-st^2} dt \end{eqnarray*}$
Nun fragt sich aber wie ich die Vertauschung begründe. Ich weiß nicht ob es bei unendlichen Grenzen genauso geht wie bei endlichen? Sonst ist immer als Kriterium, dass der Integrand $\begin{eqnarray*} f_s(t)= \frac{-t^2*sin(s)-cos(s)}{t^4+1}*e^{-st^2} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergent in $\begin{eqnarray*} t \in [0, \infty) \end{eqnarray*}$ ist.
Oder hast du eine andere Idee um das Integral auszurechnen?

02.04.2016, 18:32

Guppi12

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Es geht doch nun noch darum, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{s\to\infty}\int_0^\infty e^{-t^2s}\frac{(t^2\sin(s)+\cos(s))}{t^4+1}\dd t = 0 \end{eqnarray*}$ , dann bist du fertig.

Hier bietet sich etwa der Satz über majorisierte Konvergenz an.
(Du musst ihn nicht benutzen, das wäre nur eine Möglichkeit. Lass mich wissen, wenn du ihn noch nicht zur Verfügung hast.)

02.04.2016, 19:52

StrunzMagi

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Hallo,
Ja genau nur das ist noch zuzeigen!
Nein den Satz habe ich nicht zur Verfügung, ich schätze der kommt erst in Maßtheorie im Master.

02.04.2016, 20:42

Guppi12

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Ich bin gerade nur mit Handy unterwegs, deswegen fasse ich mich kurz.

Versuche, die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \left|\int_0^\infty e^{-t^2s}\frac{(t^2\sin(s)+\cos(s))}{t^4+1}\dd t\right| \leq \int_0^\infty e^{-st^2}\frac{t^2+1}{t^4+1}\dd t \end{eqnarray*}$ so fortzuführen, dass du das Integral ausrechnen kannst und den Limes danach berechnen kannst. Ein Aufteilen des Integrals mit Zwischenpunkt 1/sqrt(s) oder ähnlich könnte dabei vielleicht hilfreich sein. Ich habs noch nicht im Detail durchgerechnet, probiere einfach mal ein bisschen rum.

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