Extremwertberechnung

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trololox Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertberechnung
Meine Frage:
Bei einem Straßen-Querfeldein-Rennen muss ein Radsportler von A nach B fahren(fig.1) Auf der Straße erreicht er durchschnittlich eine Geschwindigkeit von 40km\h, im freien Gelände jedoch nur 20km\h. In welchem Punkt sollte er die Straße verlassen, wenn er möglichst schnell am Ziel sein möchte?
Beschreibung zu Fig.1: A-B auf der X-achse 50km, auf der Y-achse 30km, nach dem Verlassen der Straße sollte er geradelinig fahren, so dass sich da ein rechtwinkliges Dreieck bildet.



Meine Ideen:
Ich habe vollgendes gebildet:
t(x)= x:40 + c:20 wobei c^2=(50-x)^2 + 30^2
Da kommt dann natürlich ne Wurzel raus, die ich auch nicht wegkriege.
Ableiten machts nicht besser weil ^-1\2 nicht viel besser ist und 1\50 Außen schließt Satz vom Nullprodukt aus(?)
Ich glaube, dass ich einfach wieder vom Anfang an was Falsches angenommen habe, aber finde den Fehler jetzt nicht und würde mich nun auf kleine Hilfe freuen.
Grüße
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modellieren und Optimieren Aufgabe
Guten Morgen,

grundsätzlich sind Deine Überlegungen alle richtig, allerdings habe ich Probleme Deine Bemerkungen zu den Rechenergebnissen zu verstehen, solange Du die Rechnungen nicht auch postest verwirrt

Generell gilt:
1. Wenn zu der Aufgabe eine Skizze/Zeichnung gehört, sollte sie hier ebenfalls gezeigt werden. Ich habe mal versucht, aus Deiner Beschreibung eine Skizze anzufertigen:
[attach]41271[/attach]
2. Bevor Du überhaupt mit umfangreicheren Rechnungen anfängst, berechne wie lange der Radfahrer für die grüne Strecke braucht und wie lange er für die gesamte blaue Strecke braucht.

3. Dann bestimme die Strecke x mit Hilfe der Analysis, so wie Du das schon beschrieben hast. (Es ist im Übrigen nicht so kompliziert, wie Du befürchtest - vorausgesetzt man rechnet fehlerfrei)

... und noch ein Tipp: Ich würde die horizontale Kathete des rechtwinkligen Dreicks mit x bezeichnen. Die Rechnungen sind dann nicht ganz so barock.
trololox1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modellieren und Optimieren Aufgabe
t1 = 50:40 + 30:20 = 1,875

t2 = \sqrt{(50-x)^{2} + 30x^{2} } :20 = 2,91
Also das sind die Randwerte

t(x)= x:40 + \sqrt{(50-x)^{2} + 30^{2} }

t(x)= x:40 + \sqrt{3400 - 100x + x^{2} }

Das war die erste Idee, die zu einer unlösbaren Summe unter der Wurzel führt(?)

Ich weiß nicht ob ich richtig verstanden habe, was Du mit der horizontalen Kathete meinst, hab´ es dann so gemacht:
t(x)= (50-x):40 + \sqrt{x^{2} + 30^{2}}
Mit einfach Hochzahlen streichen wäre Herr Pythagoras, denk ich, nicht zufrieden.(wenn ich es wagen würde, käme übrigens -1\80x + 2.75 raus)

Ok, bin da jetzt wieder ratlos, aber bei diesen ausführlicheren Rechnungen kannst Du vielleicht einfacher den Fehler finden. Übrigens ist die Zeichnung vollkommen richtig

Ich hatte noch die Idee, 1,875(t1) als c anzunehmen und die Gleichung mit t(x)= ax^{2} + 1,875, geht das irgendwie?
Grüße
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modellieren und Optimieren Aufgabe
Hallo,

t1 ist falsch.

Der Term von t(x) ist ebenfalls falsch. Du hast vergessen, die Streckenlänge "schräg durchs Gelände" durch 20 zu teilen:



Du suchst bei dieser Funktion einen Extremwert, der durch Ableiten ermittelt werden kann.
Zitat:
Ableiten machts nicht besser weil ...

Wie Du dazu kommst, kann ich erst sehen, wenn Du Deine Rechnungen hier postest.
trololox2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modellieren und Optimieren Aufgabe
Yup, das war falsch abgeschrieben,

Das habe ich dann so bearbeitet



Nullprodukt geht ja wegen 1\40 nicht, die Klammern kriegt man da doch auch nicht weg(?)
Entweder habe ich was verpasst, oder das kann man so nicht weiterlösen.(wurzel aus summen mit zahlen und x usw)
Falls es sich um welche (Wurzel-)Rechenregeln handelt, würde ich ausnahmsweise um etwa direktere Hinweise bitten, denn ich bin mit ihnen leider nicht so eng verbrüdert.
Grüße
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modellieren und Optimieren Aufgabe
Hallo,

grundsätzlich ist der eingeschlagene Weg OK. Allerdings sind Dir dabei ein paar Ungenauigkeiten, Rechenfehler und Unzweckmäßigkeiten zugestoßen:

1. Bei t(x) fehlt eine Klammer:



2.

3. Ich empfehle Dir dringend (eigentlich dringendst), die Klammer nicht auszumultiplizieren. Du nimmst Dir damit nämlich die Möglichkeit, Deine Rechnungen durch Zusammenfassen sehr elegant zu vereinfachen:



Wenn t'(x) = 0 , dann als erstes den konstanten Summanden auf die linke Seite bringen und die Gleichung mit multiplizieren. Die dadurch erhaltene Wurzelgleichung mit der üblichen Methode lösen.
Und die Binome nicht ausmultiplizieren!

EDIT: Nur eine persönliche Frage: Wie viele verschiedene Accounts willst Du eigentlich noch eröffnen?
 
 
trololox3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modellieren und Optimieren Aufgabe
ok ich habe jetzt x=20 mit t(20)=2,621(h) und es sieht schon ziemlich gut aus.
Vielen Dank, vor allem war der Tipp mit den Binomen sehr hilfreich.

Zu den Accounts, da ist was mit dem Passwort schiefgelaufen, ich eröffne aber keine neuen, sondern schreibe unregistriert, also keine Sorgen um den Server.
Grüße
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modellieren und Optimieren Aufgabe
Zitat:
Original von trololox3
...
Zu den Accounts, da ist was mit dem Passwort schiefgelaufen, ich eröffne aber keine neuen, sondern schreibe unregistriert, also keine Sorgen um den Server.
...

Dann bleibe doch bei dem einmal gewählten - auch unregistiertem - Usernamen.
Das Posten unter verschiedenen Usernamen ist NICHT gestattet, denn es verstößt gegen die Boardregeln und ist zudem unhöflich!

mY+
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

1. ist eine positive Zahl.

2. Wenn Du Deine Gleichung vollständig lösen willst, hättest Du:



d.h., Du müsstest jetzt eine Betragsgleichung nach x auflösen.

Wenn Du Dich aber an die Aufgabenstellung hältst, dann muss x < 50 sein. Die zweite Lösung der Betragsgleichung ist aber, was der Aufgabenstellung widerspricht.
trololox1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, da habe ich mich so beeilt, dass ich sogar die Wurzel falsch gezogen habe.
das X>50 habe ich dann schon weggelassen, aber auch gesehen.

damit können wir den Thread auch beenden.
Danke

@mYthos
Da kam dann ne Meldung, der Name sei besetzt, wahrscheinlich habe ich ihn dann ohne die 1 geschrieben(bei trolo2).

Grüße
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, passt.
Du musst für x = rd. 32,68 km [ ] erhalten.

mY+
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