Partielle DGL 2. Ordnung lösen

03.04.2016, 15:49

Arnulf123

Partielle DGL 2. Ordnung lösen

Hallo,

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe: [attach]41274[/attach]

Aufgabe a) habe ich vermutlich richtig gelöst, ein positiver und ein negativer Eigenwert, deshalb ist die DGL hyperbolisch.

Bei Aufgabe b) komme ich nicht weiter, ich habe leider kein Beispiel gefunden wie man solch eine Aufgabe mustergültig löst, mit den reinen Definitionen kann ich leider nichts anfangen, da ich zu viele offene Fragen habe.

Alles was ich bisher bei der Aufgabe b) gemacht habe ist folgendes:

die Gleichung umgestellt: $\begin{eqnarray*} u_{xx} +u_x -u_t =0 \end{eqnarray*}$ und die Matrix aufgestellt $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist leider ziemlich wenig, und ob es stimmt weis ich auch nicht. Kann mir jemand vielleicht irgendwo ein anschauliches Beispiel zu solch einem Aufgabentyp zeigen?

05.04.2016, 11:26

Mathema

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Hallo,

vorweg: Ich bin kein Profi auf diesem Gebiet (ganz im Gegenteil), sondern nur selber interessiert. Probiere auch ein wenig die Aufgabe zu lösen, versuche mein Glück dabei mit dem Separationsansatz. Kennst du den, bzw. hast du den mal verfolgt?

05.04.2016, 16:07

Arnulf123

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Zitat:

Original von Mathema
Hallo,

vorweg: Ich bin kein Profi auf diesem Gebiet (ganz im Gegenteil), sondern nur selber interessiert. Probiere auch ein wenig die Aufgabe zu lösen, versuche mein Glück dabei mit dem Separationsansatz. Kennst du den, bzw. hast du den mal verfolgt?

Also, den Separationsansatz habe ich irgendwo im Skript, sicherlich würde ich ihn besser anhand eines anschaulichen Beispiels verstehen. Habe aber leider noch nichts passendes gefunden. Aber vielleicht schaue ich mir den nochmal an, ich weis halt noch nicht wo die Reise hingeht bei der Aufgabe, das klassifizieren ist im vergleich zum lösen echt einfach.

05.04.2016, 16:38

Mathema

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Wie gesagt, ob es funktioniert, oder einfacher geht, weiß ich selbst noch nicht.

$\begin{eqnarray*} u_{xx} +u\textcolor{red}{_x} -u_t =0 \end{eqnarray*}$

Ohne dieses rote x wäre es jedenfalls wesentlich einfacher. Das würde auf ein einfaches Eigenwertproblem ( $\begin{eqnarray*} X''+\lambda X=0 \end{eqnarray*}$ ) mit bekannten Lösungen führen, wie du hier auf Seite 8 nachlesen kannst.

Für deine Aufgabe ergibt sich jedoch:

$\begin{eqnarray*} u(t,x)=T(t)X(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)+X'(x)}{X(x)}=-\lambda \end{eqnarray*}$

Und somit:

$\begin{eqnarray*} X''(x)+X'(x)+\lambda X=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X(0)=X(1)=0 \end{eqnarray*}$

Bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ scheitert es bisweilen nun auch bei mir.

05.04.2016, 17:53

005

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Die allgemeine Form der Konvektions-Diffusions-Gleichung ist

$\begin{eqnarray*} u_t+\mathop{\mathrm{div}}(u\vec{v})-\mathop{\mathrm{div}}(\mathbb{D}\mathop{\mathrm{grad}}u)=0. \end{eqnarray*}$

In 1D mit $\begin{eqnarray*} v=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}=1 \end{eqnarray*}$ ergibt das Deine Gleichung unter b)

$\begin{eqnarray*} u_t-u_x-u_{xx}=0. \end{eqnarray*}$

Man kann sich unter $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ eine Temperatur vorstellen, deren Anfangsprofil auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ vorgegeben ist, die links und rechts auf null festgehalten wird, die mit einer Einheitsgeschwindigkeit von rechts nach links transportiert wird, und die sich gleichzeitig noch per Einheitswaermeleitung verteilt.

Du kannst versuchen, in der einschlaegigen Literatur nach analytischen Loesungen fuer die Konvektions-Diffusions-Gleichung in 1D zu suchen. Manche Leute haben sich einen Spass daraus gemacht, solche Sachen mit Papier und Bleistift zu loesen.

05.04.2016, 19:07

005

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Ein Trick hier sind "moving coordinates". Man schreibt

$\begin{eqnarray*} u(x,t)=U(\xi,t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \xi=x+t \end{eqnarray*}$

und kommt von

$\begin{eqnarray*} u_t-u_x-u_{xx}=0 \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} U_t - U_{\xi\xi}=0. \end{eqnarray*}$

Man ist also den Konvektionsterm losgeworden und hat eine reine Diffusionsgleichung. Dann weiter wie oben von Mathema vorgeschlagen.

06.04.2016, 06:01

005

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Der Trick funktioniert aber nicht, weil man die Randbedingungen dann nicht mehr hinbekommt. Stattdessen loese man direkt wie vorgeschlagen

$\begin{eqnarray*} X''+X'+\lambda X=0. \end{eqnarray*}$

Das ist einfach eine gedaempfte Schwingung (ich nehme $\begin{eqnarray*} \lambda>0 \end{eqnarray*}$ an) mit der Loesung (wegen $\begin{eqnarray*} X(0)=0 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} X=C e^{-x/2}\sin\sqrt{\lambda-1/4}\,x. \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} X(1)=1 \end{eqnarray*}$ kann man dann die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ s bestimmen.

Um den Anfangsbedingung zu realisieren, braucht man nur einen Term.

06.04.2016, 10:50

Ehos

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Zu lösen ist

$\begin{eqnarray*} u''+u'=\tfrac{du}{dt} \end{eqnarray*}$

Der Strich bedeutet die Ableitung nach x.

Randbedingung: $\begin{eqnarray*} u(t,0)=u(t,1)=0 \end{eqnarray*}$
Anfangsbedingung: $\begin{eqnarray*} u(0,x)=2\cdot \exp \left (-\tfrac{1}{2}x \right ) \cdot\sin(\pi x) \end{eqnarray*}$

Betrachte folgende Funktion

$\begin{eqnarray*} v(x)=\exp \left ( -\tfrac{1}{2} x \right )\cdot \sin(\pi\cdot x) \end{eqnarray*}$

Wie man durch Nachrechnen leicht nachprüfen kann, gilt für diese Funktion

$\begin{eqnarray*} v''+v'=-(\pi^2+\tfrac{1}{4})\cdot v \end{eqnarray*}$ ________________________(*)

Aufgrund dieser Eigenschaft machenwir mit dieser Funktion folgenden Lösungsansatz für die obige Differenzialgleichung

$\begin{eqnarray*} u(x,t)=c(t)\cdot v(x) \end{eqnarray*}$ _______________________________(**)

Einsetzen in die obige Differnzialgleichung ergibt wegen der Eigenschaft (*) folgende Identität

$\begin{eqnarray*} -c(t)\cdot (\pi^2+\tfrac{1}{4})\cdot v=\tfrac{dc}{dt}\cdot v \end{eqnarray*}$

Dividiert man dies durch v(x), fällt die gesamte Ortsabhängigkeit heraus und man bekommt eine Differenzialgleichung für die zeitabhängigen Faktor c(t)

$\begin{eqnarray*} -c(t)\cdot (\pi^2+\tfrac{1}{4})=\tfrac{dc}{dt} \end{eqnarray*}$

Löse diese Gleichung nach c(t) auf. Danach kannst du die endgültige Lösung sofort hinschreiben, indem du in den obigen Ansatz (**) die Funktion c(t) und die Funktion v(x) einsetzt. Um die Anfangsbedingung zu befriedigen, muss du sicherstellen, dass c(0)=1 gilt.

07.04.2016, 20:04

Mathema

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@Ehos:

Dann wäre die Lösung

$\begin{eqnarray*} u(x,t)=\exp(-\tfrac{1}{4}(1+4\pi^2)t-\tfrac{x}{2})\sin(\pi x) \end{eqnarray*}$

?

Eine zweite Frage: Ich habe deinen Beitrag auch vor dem edit gelesen. Dort hatte ich herausgelesen (verbessere mich wenn ich falsch liege), dass der Ansatz von 005 (dem ich an dieser Stelle recht herzlich für seine Mühe danke!) nicht zum Ziel führt. Dieses lese ich nun nicht mehr. Funktioniert der Separationsansatz also doch? Dann würde ich diesen auch noch zu Ende rechnen und weiter durchdenken wollen.

Dir auch vielen Dank an dieser Stelle!

edit: Nein - damit stimmt die Anfangsbedingung nicht. Da fehlt der Faktor 2.

Zitat:

Um die Anfangsbedingung zu befriedigen, muss du sicherstellen, dass c(0)=1 gilt.

Dann müsste aber c(0)=2 sein, oder nicht? verwirrt

08.04.2016, 13:22

Ehos

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@Mathema

Der Separationsansatz funktioniert. So bin ich ja auf meinen Ansatz gekommen. (Die Rechnung habe ich der Kürze wegen nicht aufgeschrieben.)

Du hast recht: Bei mir fehlt der Faktor 2.

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