Wurzeln komplexer Zahlen

05.04.2016, 18:46

AstroNerd

Wurzeln komplexer Zahlen

Hallo User des Matheboards,
Gilt für $\begin{eqnarray*} z^n = a+b\cdot i \end{eqnarray*}$ die Gleichung für n-Lösungen $\begin{eqnarray*} z_j = (\sqrt{a^2+b^2})^\frac{j}{n} \cdot e^{i\cdot j \cdot \frac{arctan(\frac{b}{a})}{n}} = (\sqrt{a^2+b^2})^\frac{j}{n} \cdot (i \cdot sin(j \cdot \frac{arctan(\frac{b}{a})}{n}) + cos(j \cdot \frac{arctan(\frac{b}{a})}{n})) \end{eqnarray*}$ ?
Mit freundlichem Gruß
AstroNerd

05.04.2016, 19:07

Elvis

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Du hast nicht gesagt, wie j läuft. Die Beträge sind bestimmt falsch. Über die Argumente (Winkel) müsste ich nachdenken ... möchtest Du verraten, wie Du darauf kommst ?

05.04.2016, 20:37

AstroNerd

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Um von einer komplexen Zahl zumindest eine Lösung zu erhalten, müssten wir das $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ sowie das $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ in der Polarform $\begin{eqnarray*} z^n = r \cdot e^{i\cdot \phi} \end{eqnarray*}$ ermitteln. Das $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ kann man durch den Arcus-Tanges des Quotienten von Imaginärteil und Realteil ermitteln, $\begin{eqnarray*} \phi = \frac{arctan(\frac{b}{a})}{n} \end{eqnarray*}$ . Das $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist der Betrag der komplexen Zahl, $\begin{eqnarray*} r = (\sqrt{a^2+b^2})^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ . So erhalten wir $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ für die Polarform, $\begin{eqnarray*} z = r \cdot e^{i \cdot \phi} = (\sqrt{a^2+b^2})^{\frac{1}{n}} \cdot e^{i \cdot \frac{arctan(\frac{b}{a})}{n} } \end{eqnarray*}$ .
Dies ist jedoch nur eine Lösung aus $\begin{eqnarray*} z^n = a + b \cdot i \end{eqnarray*}$ .
Da allgemein gilt, dass für weitere Lösungen Winkel addiert und die Beträge mulitpliziert werden, habe ich die Variable $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ eingeführt. So gilt für die jeweilige Lösung $\begin{eqnarray*} z_j \end{eqnarray*}$ , dass die Beträge potentiert und die Winkel multipliziert werden:
$\begin{eqnarray*} z_j = (\sqrt{a^2+b^2})^{\frac{j}{n}} \cdot e^{i \cdot j \cdot \frac{arctan(\frac{b}{a})}{n} } \end{eqnarray*}$
Wo habe ich einen Denkfehler ?

06.04.2016, 09:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von AstroNerd
Das $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ kann man durch den Arcus-Tanges des Quotienten von Imaginärteil und Realteil ermitteln, $\begin{eqnarray*} \phi = \frac{arctan(\frac{b}{a})}{n} \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ das Argument der komplexen Zahl z^n sein soll, dann ist allenfalls $\begin{eqnarray*} \phi = arctan(\frac{b}{a}) \end{eqnarray*}$ . Aber auch bei dieser Formel kommt es darauf an, in welchem Quadranten das z^n liegt. So ist für z^n = -1 - i das $\begin{eqnarray*} \phi = - \frac 5 4 \pi \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \phi = \frac 1 4 \pi \end{eqnarray*}$ und folglich diese Formel nicht für jeden Quadranten geeignet.

Zitat:

Original von AstroNerd
So gilt für die jeweilige Lösung $\begin{eqnarray*} z_j \end{eqnarray*}$ , dass die Beträge potentiert und die Winkel multipliziert werden:
$\begin{eqnarray*} z_j = (\sqrt{a^2+b^2})^{\frac{j}{n}} \cdot e^{i \cdot j \cdot \frac{arctan(\frac{b}{a})}{n} } \end{eqnarray*}$
Wo habe ich einen Denkfehler ?

In der Mißachtung der Potenzregeln und der Eigenschaften von komplexen Zahlen. Korrekt ist:

$\begin{eqnarray*} z_k := \sqrt[n]{a^2 + b^2} \cdot e^{i \frac{\phi}{n} + \frac k n \cdot 2\pi i} \end{eqnarray*}$

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