v1, ..., vr linear unabhängig

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stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »
v1, ..., vr linear unabhängig
Habe eine Aufgabe:
A Element M (mn) K , v1,...,vr Element K hoch n
sind v1, ... , vr linear unabhängig und ist Rg(A) = n , so ist Av1, ... , Avr linear unabhängig
Meine Lösung:
Beweis durch Widerspruch
av1+bv2+ cv3 ...+ rvr = 0 , a,b,c...r Element R
v1, ..., vr linear abhängig

A(av1 + bv2 + cv3...+ rvr) = 0
aA(v1)+ bA(v2) + cA(v3) +....+ rA(vr)= 0
Somit ist A auch linear abhängig
Widerspruch. v1,...vr linear unabhängig -> Av1,...., Avr linear unabhängig

Ist das richtig so? Muss ich die Matrix anders einfügen damit auch Rg A = n drin vorkommt?
Danke!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Schreibweise hier im Forum ist nicht erfreulich. Dein Beweis ist es auch nicht, d.h. er ist nicht erfreulich. Denke mal darüber nach, ob zwischen schlampiger Schreibweise, schlampigem Denken und schlampigem Beweis ein Zusammenhang bestehen könnte. Wenn das nicht sein kann, dann ist der Beweis aus mir unerfindlichen Gründen falsch.
stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich habe nochmal nachgedacht.
Rang (A) = n
Gibt es n-r Lösungen
r = Rg(A) = n
3-3 Lösungen = {0}

???
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

???
stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

{0} soll heißen linear linear unabhängig?
stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

wenn das homogene Lösungssystem von Avr keine Lösung hat außer Null bzw. {0} ist es dann nicht schon linear unabhängig?
so wollte ich es erst machen aber eigentlich würde das vielleicht auch reichen ich habe keine ahnung ???


linear unabhängig:




linear unabhängig:
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Fortschritte sind leider nicht erkennbar ... hier kommt der Beweis.

ist gleichbedeutend damit, dass invertierbar ist, insbesondere ist und .
Nach Voraussetzung sind linear unabhängig, d.h. , und somit gilt



Also sind linear unabhängig. q.e.d.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis: Mir will sich nicht erschließen, wieso m=n sein sollte.

har rg(A)=1 und trotzdem ist linear unabhängig, sofern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das so ist, müssen wir noch weiter nachdenken ... Freude
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt sicher
stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Warum kann ich es eigentlich nicht als homogenes LGS benutzen? Ax=0
und x ist v1, ... , vr bzw x1, ... , xr
A Rang n , und eine Gleichung hat n unbekannte
n (unbekannte) - (Rang) n = 0
Ist nur die triviale Lösung möglich also trivial=linear unabhängig ??
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Helferlein / @URL
oBdA ? maW: Kann man den allgemeinen Fall auf meinen Beweis zurückführen ? Ich werde es jedenfalls heute noch versuchen.

@stefaniedl
Ich verstehe Deine Worte nicht. Kann man so Mathematik betreiben ? Wenn du Dich verständlich machen möchtest, musst Du mathematische Aussagen machen.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis: du brauchst nur eine Linksinverse und so eine gibt es bei injektivem A
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst JA ? Heureka. Tanzen
Die Einzelheiten darf stefaniedel ausführen.
stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Bist du immer so bösartig? Ich wollte es wie einen Vektorraum der lösungsmenge U eines homogenen LGS über K lösen
stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Und nicht als
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, was Du machst. Vielleicht kannst Du es mir noch erklären, es würde mich auf jeden Fall interessieren.
Ich habe versucht, einen Beweis zu finden, der dir vielleicht nützen kann. Wenn er nichts nützt, dann nicht.
stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und bin ich ja auch dankbar. Wollte nur wissen ob ich ais Avr vllt. auch Ax=0 machen kann so dass v1,...,vr x1,..,xr ist
stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir nicht vorstellen dass du nicht weisst was ich meine
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz ehrlich, ich kann nicht Gedanken lesen, ich kann nur versuchen, Mathematik zu verstehen. Das klappt eben auch nicht immer, und ich bin mir auch nicht immer sicher, ob das an mir oder an der Mathematik liegt. Tipp: Erkläre mir so lange und so ausführlich, was Du machst, bis ich es verstanden habe.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute, sie denkt, dass die Komponenten des Lösungsvektors sein könnten.
Das ist aber schon deswegen völliger Humbug, weil Vektoren und keine Koordinaten sind.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wir verstehen uns nicht ...
stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich hab ich eine neue Frage : D
Muss ich einen thread aufmachen? Will nur wissen richtig oder falsch
stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Ok und wenn ich Ax=b mache und b ist die Summe der koeffizienten v1,...,vr die null ist?

geht auch nicht oder?

Dann kriege ich Ab nicht zusammen

Oder ich lasse v1,...,vr weg und mache nur A Rg(A)=n dann hat A keine Lösungen weil der Rang n ist. Und dann gibt es nur die triviale Lösung. Damit ist A schon linear unabhängig und v1,...,vr auch, Avr linear unabhängig???

Edit(Helferlein): 4 Folgebeiträge angehängt. Du kannst als registrierter Benutzer deine Beiträge editieren. Das macht es übersichtlicher.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dann hat A keine Lösungen weil der Rang n ist

Was soll denn die Lösung einer Matrix sein?

Zitat:
Kann mir nicht vorstellen dass du nicht weisst was ich meine

Also ich kann für meinen Teil sagen, dass ich definitiv keine Ahnung habe, wovon du redest.
In dem Sinn Wink
stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung einer Matrix? A ist doch Element M mn K und daraus Ax=0 gemacht dann hat es doch Lösungen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mindestens eine Lösung. Das hat aber mit linear unabhängigen Vektoren Av nichts zu tun.
stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich nicht ich behandle ja A einzeln und nicht Av
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was hat das dann mit deiner Aufgabe zu tun ?

"Aufgabe:
A Element M (mn) K , v1,...,vr Element K hoch n
sind v1, ... , vr linear unabhängig und ist Rg(A) = n , so ist Av1, ... , Avr linear unabhängig"
stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

v1,...,vr linear unabhängig und A auch ist muss ja Avr zusammengesetzt auch wieder linear unabhängig sein?
stefaniedel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich brauche einfach eine Antwort und da du dir mit deiner Lösung nicht sicher bist : /
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Was für eine Antwort willst Du denn noch? Elvis hat oben schon einen Beweis für nxn-Matrizen gebracht, den URL mit seinem Hinweis auf mxn-Matrizen verallgemeinert hat.

Du wirfst mit Begriffen um Dich, die zwar alle mit der Thematik zu tun haben, aber in eklatanter Weise falsch verwendet werden.
Ich weiss nicht, wie erfolgreich Du bislang in deinem Studium/den Übungen warst, aber wenn Du Dir nicht angewöhnst die korrekten mathematischen Definitionen und Bezeichnungen zu verwenden, wird ein erfolgreicher Abschluss sehr schwer für Dich werden.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Anstatt kann man äquivalent die Umkehrung zeigen.

Seien also die . Dann gibt es nicht alle gleich 0, sodass . Dies kann man schreiben als
.

Dass der Kern von A trivial sein muss ist Folge von . Dies bedeutet
,

die müssen also auch linear abhängig sein.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht elegant aus. Hoffentlich ist nun auch stefaniedel mit uns zufrieden.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Hoffentlich ist nun auch stefaniedel mit uns zufrieden.


Big Laugh Ich hoffe, sie präsentiert sie nicht als ihre eigene.
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