Beispiel für freier, nicht torsionsfreier Modul über einen Ring

08.04.2016, 13:32

Shalec

Beispiel für freier, nicht torsionsfreier Modul über einen Ring

Hallo,

ich suche ein Beispiel für einen Ring (diese sind bei uns als kommutativ und mit 1 definiert) und ein freier Modul, welcher nicht torsionsfrei ist.

Ich weiß bislang, dass der Ring kein Integritätsring sein darf, denn darin sind alle freien Moduln auch torsionsfrei. Damit denke ich direkt an einen Matrizenring mit Dimensions n > 1, da dieser i.A. nicht kommutativ ist. Angenommen ich nehme einen Matrizenring R über die ganzen Zahlen. Dann ist jedes Ideal I^(n x n) dieses Ringes ein Ideal I von Z. Diese sind dann auch R-Moduln. Allerdings sind diese auch torsionsfrei, da sie Nullteilerfrei sind. ..

Könnte mir vielleicht jemand einen Denkanstoß geben?

Viele Grüße und vielen Dank

08.04.2016, 14:25

Elvis

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Bei Wikipedia gibt es Leute, die behaupten, jeder freie Modul sei torsionsfrei. ( https://de.wikipedia.org/wiki/Freier_Modul ) Wenn das so ist, wirst Du auch kein Gegenbeispiel finden.

08.04.2016, 18:55

Telperion

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Elvis hat Recht. Man kann recht leicht zeigen, dass jeder Teilmodul eines freien Moduls über einem kommutativen Ring mit 1 torsionsfrei ist. Damit sind insbesondere freie Moduln torsionsfrei.

10.04.2016, 10:59

Shalec

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Zitat:

Original von Telperion
Elvis hat Recht. Man kann recht leicht zeigen, dass jeder Teilmodul eines freien Moduls über einem kommutativen Ring mit 1 torsionsfrei ist. Damit sind insbesondere freie Moduln torsionsfrei.

Oh. Dann hat er die Aufgabe wohl mal anders gemeint. In der VL war als Konvention "Ring= Ring, kommutativ mit 1". In der Übung (die nun über ein Jahr zurück liegt) war dann wohl "Ring = Ring" gemeint. Dann überlege ich nochmal anders und suche da ein geeignetes Gegenbeispiel.

Weißt du zufällig, wo ich diesen Beweis nachlesen kann? Ich mache mir aber solange auch mal, wenn ich wieder Zeit habe, ein paar Gedanken darüber.

@Elvis:
Ich habe auch diesen Wikipediaartikel gesehen und bei 2.1.2 die Anmerkung in den Klammern gelesen, aber ich hatte gedacht, dass das nur für Integritätsringe gilt.
Generell sollte es doch einen Unterschied zwischen kommutativen Ringen mit 1 und Integritätsringen geben, da wir in der VL "Jeder freie Modul ist torsionsfrei" nur für Int'ringe genannt bekommen haben. Der direkte Unterschied ist ja die Nullteilerfreiheit und ich hatte vermutet, dass dieser Unterschied zum geforderten Gegenbeispiel führt.

Viele Grüße und vielen Dank euch beiden!

10.04.2016, 11:27

Telperion

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Also ein Buch habe ich gerade nicht zur Hand, allerdings kann ich dir ja mal den Ansatz für den Beweis geben. Der ist wirklich nicht so kompliziert:

Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein freier $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Modul, wobei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein kommutativer Ring mit 1 ist. Sei $\begin{eqnarray*} \left\{ b_i | i\in I \right\} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ Basis von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} N \subseteq M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Teilmodul von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Setze weiter $\begin{eqnarray*} t(N) \end{eqnarray*}$ als den Torsionsteilmodul von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ . Jetzt betrachte $\begin{eqnarray*} n \in t(N) \end{eqnarray*}$ . Dann weißt du, dass es ein $\begin{eqnarray*} r\in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} rn = 0 \end{eqnarray*}$ gibt, wobei $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ kein Nullteiler in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist. Stelle nun $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in der Basis von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ dar (das geht hier, weil bei kommutativen Ringen mit 1 $\begin{eqnarray*} t(N) \end{eqnarray*}$ ein Teilmodul von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist). Folgere daraus einen Widerspruch.

16.04.2016, 16:56

Shalec

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Zitat:

Original von Telperion
Also ein Buch habe ich gerade nicht zur Hand, allerdings kann ich dir ja mal den Ansatz für den Beweis geben. Der ist wirklich nicht so kompliziert:

Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein freier $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Modul, wobei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein kommutativer Ring mit 1 ist. Sei $\begin{eqnarray*} \left\{ b_i | i\in I \right\} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ Basis von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} N \subseteq M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Teilmodul von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Setze weiter $\begin{eqnarray*} t(N) \end{eqnarray*}$ als den Torsionsteilmodul von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ . Jetzt betrachte $\begin{eqnarray*} n \in t(N) \end{eqnarray*}$ . Dann weißt du, dass es ein $\begin{eqnarray*} r\in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} rn = 0 \end{eqnarray*}$ gibt, wobei $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ kein Nullteiler in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist. Stelle nun $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in der Basis von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ dar (das geht hier, weil bei kommutativen Ringen mit 1 $\begin{eqnarray*} t(N) \end{eqnarray*}$ ein Teilmodul von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist). Folgere daraus einen Widerspruch.

Das werde ich mir mal durch den Kopf gehen lassen. Soeben habe ich die Aufgabe nochmal gelesen und in Bezug auf diesen Beweis kam mir die Frage, ob ich meine eingängliche Frage falsch formuliert hatte. Gesucht ist ein freier R-Modul, welcher nicht torsionsfrei ist.

Ich habe nun ein Beispiel dafür konstruiert. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist freier $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ -Modul. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist kommutativer Ring mit 1 und als Modul über sich selbst trivialerweise frei. Da aber die Menge der Torsionen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} \{2,3,4\} \end{eqnarray*}$ sind, ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ nicht torsionsfrei. Also irgendwie doch recht trivial.

Hier ist auch zu sehen: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist nicht nullteilerfrei und damit kein Integritätsring. Wink

16.04.2016, 17:52

Telperion

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Du solltest hier aufpassen: Üblicherweise gilt ein Element $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ eines $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Moduls $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ als Torsionelement, wenn es einen nicht Nullteiler $\begin{eqnarray*} r \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} rm = 0 \end{eqnarray*}$ gibt.
In deinem Beispiel sind aber $\begin{eqnarray*} 2,4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ Nullteiler in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 6 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
In der Definition eines Torsionelementes wird also angenommen, dass du es mit einem Nichtnullteiler multiplizierst.

16.04.2016, 19:08

Shalec

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Zitat:

Original von Telperion
Du solltest hier aufpassen: Üblicherweise gilt ein Element $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ eines $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Moduls $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ als Torsionelement, wenn es einen nicht Nullteiler $\begin{eqnarray*} r \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} rm = 0 \end{eqnarray*}$ gibt.
In deinem Beispiel sind aber $\begin{eqnarray*} 2,4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ Nullteiler in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 6 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
In der Definition eines Torsionelementes wird also angenommen, dass du es mit einem Nichtnullteiler multiplizierst.

Möglicherweise haben wir unterschiedliche Definitionen dafür vorliegen Big Laugh

In der VL (algorithmische Zahlentheorie) haben wir das wie folgt definiert:

Sei $\begin{eqnarray*} \alpha(A):=\{ r\in R\ |\ r\cdot A = 0\} \end{eqnarray*}$ der Anullator (mit doppel-"n"?) von A. Ein Torsionselement $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ wird dann definiert durch $\begin{eqnarray*} \alpha(R\cdot m) \neq \{0\} \end{eqnarray*}$ .

Es ist ja $\begin{eqnarray*} R=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}=M \end{eqnarray*}$ .. wenn ich mir das jetzt anschaue, hat Z_6 doch gar keine Torsionselemente? Ich interpretiere $\begin{eqnarray*} r\cdot A=\{r\cdot a\ |\ a\in A\}=0 \Leftrightarrow\ r\cdot a = 0\ \forall a\in A \end{eqnarray*}$ . Aber die rechte Seite ist doch für kein Element außer der 0 erfüllt?

16.04.2016, 19:29

Telperion

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Was du unter "Annulator" verstehst kenne ich unter Annihilator eines Moduls. Dort sind bei mir auch Nullteiler des Rings zugelassen.
Im Gegensatz dazu kenne ich Torsionselemente so, wie ich sie oben definiert habe (also die Ringelemente, mit denen multipliziert wird, sind keine Nullteiler im Ring ).

Zu Nullteilern: Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Element $\begin{eqnarray*} r \in R \end{eqnarray*}$ heißt Nullteiler in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , falls es ein $\begin{eqnarray*} b \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} rb = 0 \end{eqnarray*}$ gibt. Mit dieser Definition eines Nullteilers hat $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 6 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ also sehr wohl Nullteiler, wie ich oben geschrieben habe.

Jetzt zu deiner Definition: Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Modul. Definiere $\begin{eqnarray*} \alpha \left( M \right) := \left\{ r\in R | rm = 0 \forall m\in M \right\} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \alpha \left( rM \right) = \left\{ x \in R | xrm = 0 \forall m \in M \right\} \end{eqnarray*}$ . Setzen wir ein: ( Beachte: Hier stehen eigentlich Restklassen)
Sei $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb Z / 6 \cdot \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \alpha \left( r \cdot \mathbb Z / 6 \mathbb Z \right) = \left\{ x \in \mathbb Z / 6\mathbb Z | xr z = 0 \forall z \in \mathbb Z / 6 \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$ . Schauen wir uns die Gleichung in der letzten Menge mal an.
$\begin{eqnarray*} r=2 \end{eqnarray*}$ : Dann gilt für $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 2\cdot 3 = 0 \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} 2\cdot 3 \cdot z=0 \forall z \in \mathbb Z / 6 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Habe ich deine Definition vielleicht falsch verstanden? Falls nicht siehst du hier den Unterschied zwischen den beiden Definitionen.

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