Beweis dass f(x) = f(-x) Unterraum von Vektorraum V

08.04.2016, 16:24

TheLastOfUs

Beweis dass f(x) = f(-x) Unterraum von Vektorraum V

Meine Frage:
Hallihallo Wink

an folgender Aufgabe sitze ich gerade:

Sei V der Vektorraum aller Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die Menge
$\begin{eqnarray*} U=\{f\in V: \forall x \in \mathbb R (f(x) = f(-x))\} \end{eqnarray*}$
ein Unterraum von V ist.
Danach wird auf eine Definition in unserem Skript verwiesen, dass die Summe zweier Funktionen und skalare Vielfache von Funktionen auf besondere Weise in unserem Skript definiert sind.

Meine Ideen:
So die richtige Blitzidee möchte mir hier bei der Aufgabe einfach nicht kommen. Ich weiß, um die Existenz eines Untervektorraums festzustellen, muss ich Nichtleerheit, Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation und Abgeschlossenheit unter + überprüfen... aber wie genau soll ich dies anstellen? unglücklich

Wenn mir jemand einen kleinen Schubs in die richtige Richtung geben würde, wäre ich sehr dankbar! Gott

08.04.2016, 16:50

Helferlein

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Wie ist denn die Summe zweier Funktionen definiert und wie die Multiplikation mit einem Skalar?

$\begin{align*} (f+g)(x)=?\quad (af)(x)=? \end{align*}$

Zeige damit die drei Eigenscxhaften eines Unterraums.

08.04.2016, 16:58

TheLastOfUs

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Genau, also $\begin{eqnarray*} (f+g)(x)=f(x)+g(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (af)(x)=f(ax) \end{eqnarray*}$ . Soweit weiß ich Bescheid. smile

Und das soll ich nun auf $\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ übertragen? Mhh... wie genau?
$\begin{eqnarray*} af(x)=af(-x) \rightarrow f(ax) = f(-ax) \end{eqnarray*}$ kommt mir irgendwie viel zu simpel vor. LOL Hammer

08.04.2016, 18:18

Helferlein

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Zitat:

Original von TheLastOfUs
Genau, also $\begin{eqnarray*} (f+g)(x)=f(x)+g(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (af)(x)=f(ax) \end{eqnarray*}$ . Soweit weiß ich Bescheid. smile

Das solltest Du noch mal nachschlagen. Nehmen wir mal als Beispiel $\begin{align*} f(x)=x^3 \end{align*}$ . Ist dann wirklich $\begin{align*} (a\cdot f)(x)=(ax)^3 \end{align*}$ ?
Auch ist die Erkenntnis $\begin{align*} f(ax) = f(-ax) \end{align*}$ ziemlich uninteressant, denn sie folgt aus der Definition von f, hat aber mit dem UVR-Kriterien nichts zu tun.

09.04.2016, 09:54

TheLastOfUs

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Tut mir leid, ich meinte natürlich $\begin{eqnarray*} (a \cdot f)(x) = a \cdot f(x) \end{eqnarray*}$ unglücklich

Okay, ich dachte mir schon, dass das nicht die Lösung sein kann, denn das beweist ja im Prinzip überhaupt nichts. Aber was muss ich dann machen? Ich meine, nehmen wir zum Beispiel Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation. Soll ich dann zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 2 \cdot f(x) = 2 cdot f(-x) \end{eqnarray*}$ ist? verwirrt

Ich verstehe nicht, wo ich anfangen muss oder wie ich meinen Beweis überhaupt anfangen soll...

09.04.2016, 10:07

Helferlein

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Im Prinzip ja, das ganze aber natürlich nicht für 2, sondern ein beliebiges a.
Im einzelnen ist also zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} 1) f\equiv 0 \Rightarrow f\in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2) f,g \in U \Rightarrow f+g \in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3) f \in U, a \in K \Rightarrow (af) \in K \end{eqnarray*}$

Dazu musst Du einfach nur die Definition der Elemente in U nutzen und die oben genannten Definitionen zur Addition und Multiplikation mit einem Skalar.
Im einzelnen:

1) Erfüllt f die Eigenschaften einer Funktion aus U?
2) Was gilt für f und g, wenn sie in U liegen und was bedeutet das für $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) \end{eqnarray*}$ ?
3) Was gilt für f, wenn es in U liegt und was bedeutet das für $\begin{eqnarray*} (af)(x) \end{eqnarray*}$ ?

09.04.2016, 21:48

TheLastOfUs

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Also die Definitionen sind mir ja bekannt unglücklich

Aber ich verstehe nicht, wie ich eine allgemeine Funktion angeben soll, anhand derer ich dann die Beweise durchführen soll. Bisher hatten wir das immer nur mit Tupeln und das wäre ja kein Problem... aber über Funktionen? unglücklich

10.04.2016, 07:58

Helferlein

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Hast Du denn überhaupt mal versucht mit meinen letzten Tipps zu arbeiten?
Wenn ja: Bis wohin haben sie Dich geführt und woran scheitert Du noch?

Probleme sind anfangs völlig normal. Ich kann Dir aber schlecht helfen, wenn Du nicht auf meine Fragen eingehst.
Wie sind Deine Überlegungen zu den Punkten 1-3?

10.04.2016, 09:12

TheLastOfUs

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Ich scheitere nach wie vor daran, dass ich nicht weiß, wie ich meine allgemeinen Funktionen darstellen kann. Oder soll ich einfach spezifische Funktionen nennen und anhand dieser dann meine Bedingungen beweisen? Ich meine, die Bedingung $\begin{eqnarray*} f(x) =f(-x) \end{eqnarray*}$ trifft beispielsweise für die Betragsfunktion $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ zu oder für jede beliebige quadratische Funktion... Forum Kloppe

Und ich dachte, die Fragen 1-3 wären schon oben von dir selbst definiert worden. Wenn f(x) und g(x) in U liegen, dann muss auch (f+g)(x), sowie (af)(x) und (ag)(x) in U liegen, das fordert die Abgeschlossenheit... ich verstehe einfach nicht, wie ich das alles niederschreiben soll und dann noch in einer Art und Weise, dass es meine Bedingung beweist. unglücklich

10.04.2016, 09:59

Helferlein

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Es geht um diese drei Fragen:

Zitat:

Original von Helferlein
1) Erfüllt f die Eigenschaften einer Funktion aus U?
2) Was gilt für f und g, wenn sie in U liegen und was bedeutet das für $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) \end{eqnarray*}$ ?
3) Was gilt für f, wenn es in U liegt und was bedeutet das für $\begin{eqnarray*} (af)(x) \end{eqnarray*}$ ?

Dabei ist beim ersten $\begin{align*} f(x)=0~\forall~x \end{align*}$ gemeint.

Wenn Du die beantworten kannst, hast Du das nötige Handwerkzeug zum Beantworten der Frage nach dem Unterraum. Der wichtigste Punkt dabei ist, dass Du verstanden hast, mit was für Funktionen Du es zu tun hast. Beispiele helfen in diesem Fall eigentlich nur, um sich klarzumachen, was Du bei dieser Aufgabe benutzen darfst.
Warum ist beispielsweise $\begin{align*} f(x)=sin(x^2) \end{align*}$ in U, $\begin{align*} g(x)=e^x \end{align*}$ aber nicht? Was weisst Du über die Funktionen in U? Nur das darfst Du bei deinem Beweis benutzen.

Ich bin gleich erst einmal frühstücken. Sollten Dir die Hinweise immer noch nicht weiterhelfen, kann ich heute nachmittag noch einmal ein ähnliches Beispiel vorrechnen. Es wäre aber schön, wenn das bis dahin nicht mehr erforderlich sein würde.

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