Körpererweiterung

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11.04.2016, 19:28	Pumuckl122	Auf diesen Beitrag antworten »
Körpererweiterung Hallo! Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe: Man soll zeigen oder widerlegen, dass $\begin{eqnarray} K=\left\{ a+\sqrt[3]{2}\|a,b \in \mathbb Q\right\} \end{eqnarray}$ ein Körper ist. Nach kurzer Recherche vermute ich, dass es sich um einen Körper handelt. Eigentlich reicht es zu zeigen, dass mit zwei Elementen aus K auch deren Summe und deren Produkt sowie zu jedem Element dessen Inverses in K liegt. Das mit der Summe passt, aber wenn ich zwei Elemente multipliziere, komme ich auf einen Summanden mit $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{4} \end{eqnarray}$ . Ich sehe nicht, dass dieser in K liegt, also die Form $\begin{eqnarray} a+\sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ hat.
11.04.2016, 19:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körpererweiterung Du meinst vielleicht die Menge $\begin{eqnarray} K_1=\left\{ a+b\sqrt[3]{2}\|a,b \in \mathbb Q\right\} \end{eqnarray}$ oder die Menge $\begin{eqnarray} K_2=\left\{ a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2}^2\|a,b,c \in \mathbb Q\right\} \end{eqnarray}$ . Ganz sicher ist $\begin{eqnarray} K=\mathbb Q(\sqrt[3]{2}) \end{eqnarray}$ ein Körper (und gleich eine dieser Mengen).
11.04.2016, 19:50	Pumuckl122	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau. $\begin{eqnarray} K_1=\left\{ a+b\sqrt[3]{2}\|a,b \in \mathbb Q\right\} \end{eqnarray}$ meinte ich. Da ist wohl ein b verschluckt worden vorhin. Wenn ich nun rechne $\begin{eqnarray} (a+b\sqrt[3]{2})(c+d\sqrt[3]{2}) \end{eqnarray}$ , dann ist der vierte Summand $\begin{eqnarray} bd\sqrt[3]{4} \end{eqnarray*}$ . Warum liegt dieser in K?
11.04.2016, 19:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Liegt in K, weil K auch Produkte enthält. Liegt aber nicht in K1, sondern in K2
11.04.2016, 20:05	Pumuckl122	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber dann ist K_1 eigentlich kein Körper?
12.04.2016, 08:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht nur "eigentlich", sondern "überhaupt". Das hast Du von Anfang an gewusst und dennoch das Gegenteil vermutet. Kann ja mal vorkommen.
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12.04.2016, 13:00	Pumuckl122	Auf diesen Beitrag antworten »
Fällt dir eine wasserdichte Argumentation ein, warum $\begin{eqnarray} bd\sqrt[3]{4} \end{eqnarray}$ nicht von der Form $\begin{eqnarray} a+b\sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ ist? Ich bin noch nicht auf einen wasserdichten Widerspruch gekommen ...
12.04.2016, 13:04	Pumuckl122	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit es mit den Variablen stimmt: $\begin{eqnarray} ab\sqrt[3]{4} \end{eqnarray}$ nicht von der Form $\begin{eqnarray} c+d\sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$
12.04.2016, 13:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} \alpha=\sqrt[3]2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha^2=a+b\alpha \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} 2=\alpha^3=ab+(a+b^2)\alpha \end{eqnarray}$ . Durch Koeffizientenvergleich folgt daraus $\begin{eqnarray} a=-\alpha^2\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Das kann nicht sein.
12.04.2016, 14:34	Pumuckl122	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Koeffizientenvergleich setzt du an $\begin{eqnarray} a+b^2=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ab=\alpha ^3 \end{eqnarray}$ oder? Aber dann wäre auch $\begin{eqnarray} b=-\alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a+b\alpha=-2\alpha ^2 \neq \alpha ^2 \end{eqnarray}$
12.04.2016, 18:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ab=2,a+b^2=0 \end{eqnarray}$ ... Du hast dich verrechnet : $\begin{eqnarray} b=2\alpha\ne -\alpha \end{eqnarray}$
12.04.2016, 20:58	Pumuckl122	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin ich schon ganz daneben? Wenn $\begin{eqnarray} a = - \alpha ^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b = 2 \alpha \end{eqnarray}$ , dann ist doch $\begin{eqnarray} ab = (- \alpha ^2) (2 \alpha) = -2 \alpha ^3 = -22 = -4 \neq 2 \end{eqnarray}$
12.04.2016, 22:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich zweifle nun am Koeffizientenvergleich, den ich vorgeschlagen hatte. Aus $\begin{eqnarray} 2=ab+(a+b^2)\alpha \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \alpha=\frac {2-ab}{a+b^2}\in\mathbb Q \end{eqnarray}$ , was offensichtlich falsch ist. Genügt das als Beweis durch Widerspruch, oder bin ich auf dem falschen Trip?
13.04.2016, 12:21	Pumuckl122	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube das passt jetzt! Danke für deine Hilfe!
13.04.2016, 13:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die arithmetischen Merkwürdigkeiten, die wir bemerkt haben, sind möglicherweise auch ein Beweis durch Widerspruch. Unter der Annahme $\begin{eqnarray} \alpha^2=a+b\alpha \end{eqnarray}$ kommt man immer zu einem logischen Widerspruch, also ist die Annahme falsch. Ich habe ein paarmal nachgerechnet, und es kommt jedesmal Unsinn heraus.

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