Nilpotente lineare Abbildung

12.04.2016, 15:41

vogs

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Nilpotente lineare Abbildung

Gegeben habe ich folgende Matrize welche einer lin. Abbildung R2->R2 entspricht:
$\begin{eqnarray*} N=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es soll der Rang der Matrix, der Kern und das Bild bestimmt werden.

Rang = 1 => es gibt einen Kern != 0.

Jetzt hab ich irgendwo ein gedankliches Problem. Aus einer Überlegung hätte ich gesagt, dass der $\begin{eqnarray*} Kern(N)=\mathcal{L}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} Bild(N)=\mathcal{L}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun aber "rechnerisch" vorgehe um den Kern zu bestimmen mache ich ja folgendes:
$\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1=t \end{eqnarray*}$ somit ist die Lsg. des hom. lin. GS $\begin{eqnarray*} x=t\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und somit der $\begin{eqnarray*} Kern(N)=\mathcal{L}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wo mache ich den/die Fehler?

12.04.2016, 16:01

10001000Nick1

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RE: Nilpotente lineare Abbildung

Zitat:

Original von vogs
Aus einer Überlegung hätte ich gesagt, dass [...]

Diese Überlegung wird wohl der Fehler sein.

12.04.2016, 16:05

vogs

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Somit würde sich mMn ja bestätigen, dass das $\begin{eqnarray*} Bild(N)=\mathcal{L}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

12.04.2016, 16:20

10001000Nick1

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OK, dieser Teil deiner Überlegung stimmt. Aber der Kern ist nicht $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , sondern (wie du später richtig berechnet hast) $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

12.04.2016, 16:22

RavenOnJ

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Nimm doch mal einen allgemeinen Vektor $\begin{align*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{align*}$ und bilde den ab:

$\begin{align*} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}$

Welche Vektoren werden also auf den Nullvektor abgebildet?

12.04.2016, 16:22

vogs

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Der Kern kann doch nicht gleich dem Bild sein oder?

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12.04.2016, 16:24

10001000Nick1

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Wieso nicht? Im Allgemeinen stammen doch der Kern und das Bild aus verschiedenen Vektorräumen. Hier hast du nun zufällig einen Endomorphismus, d.h. Definitions- und Wertebereich stimmen überein.

12.04.2016, 16:35

vogs

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Vielen Dank für die Erläuterungen!

Ich frage mich dann noch folgendes. Es wurde gesagt (mir ist klar, dass es etwas profan formuliert war aber die Aussage ist gekommen), dass die "Information vom Kern quasi ausgelöscht wird". Gilt das nun in diesem Fall nicht? Sonst würde es ja kein Bild geben.

12.04.2016, 16:38

10001000Nick1

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Ehrlich gesagt, kann ich mit dieser Formulierung nichts anfangen. verwirrt

verwirrt

Und wie soll eine lineare Abbildung kein Bild haben?

12.04.2016, 16:59

vogs

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Ja bitte entschuldige meine laienhafte Formulierung, ich weiß nur nicht wie ich es besser erklären soll, naja evtl. so. Anstatt "kein Bild" hätte ich wohl schreiben sollen, nur den 0-Vektor als Bild.

Folgende Abbildung im R3: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ "reinschicke", so kommt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a\\ b\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Bild. Die x3-Komponente, wird somit "ausgelöscht" bzw. x wird auf die x1, x2-Ebene projiziert.
$\begin{eqnarray*} Kern(A)=\mathcal{L}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} Bild(A)=\mathcal{L}(e_1, e_2) \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich nun diese Vorstellung auf meine ursprüngliche Aufgabe ummünze, so komme ich nun zum gedanklichen Problem, dass wenn Bild und Kern gleich sind, nur mehr der 0-Vektor als Bild vorhanden sein dürfte. Bei den Beispielen, die ich bis jetzt behandelt habe, war eben der Kern immer ungleich dem Bild.

12.04.2016, 17:25

10001000Nick1

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Zitat:

Original von vogs
Anstatt "kein Bild" hätte ich wohl schreiben sollen, nur den 0-Vektor als Bild.

So hört sich das schon besser an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zumindest der Nullvektor ist immer im Bild einer linearen Abbildung.

Zitat:

Original von vogs
Wenn ich nun diese Vorstellung auf meine ursprüngliche Aufgabe ummünze, so komme ich nun zum gedanklichen Problem, dass wenn Bild und Kern gleich sind, nur mehr der 0-Vektor als Bild vorhanden sein dürfte.

Das liegt vielleicht daran, dass deine Abbildung keine Projektion ist: Anschaulich wird der Vektor zuerst an der Geraden $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ gespiegelt und danach erst auf die x-Achse projiziert.

Zitat:

Original von vogs
Bei den Beispielen, die ich bis jetzt behandelt habe, war eben der Kern immer ungleich dem Bild.

Ja; wie oben schon gesagt, kann das daran liegen, dass Kern und Bild aus völlig verschiedenen Vektorräumen stammen können.

Außer dem Homomorphiesatz (und daraus folgenden Sätzen wie dem Dimensionssatz) fällt mir keine Beziehung zwischen Kern und Bild ein. Es gibt also keine Aussage darüber, dass Kern und Bild nicht übereinstimmen dürften.

12.04.2016, 17:36

vogs

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Vielen Dank!

Zitat:

Ja; wie oben schon gesagt, kann das daran liegen, dass Kern und Bild aus völlig verschiedenen Vektorräumen stammen können.

Außer dem Homomorphiesatz (und daraus folgenden Sätzen wie dem Dimensionssatz) fällt mir keine Beziehung zwischen Kern und Bild ein. Es gibt also keine Aussage darüber, dass Kern und Bild nicht übereinstimmen dürften.

In meinem Fall sind beide gleich und deshalb ja auch aus dem gleichen Vektorraum oder?
Also kann man sich allgemein nicht direkt eine Vorstellung machen, was der Kern graphisch für das Bild bewirkt (auch wenn wir noch im Bereich des Vorstellbaren, also R3 bleiben)?

12.04.2016, 18:19

RavenOnJ

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Ich möchte das mal in einen etwas allgemeineren Zusammenhang stellen und zeigen, dass in diesem Fall Kern und Bild sogar übereinstimmen müssen.

$\begin{align*} N \end{align*}$ ist ja eine nilpotente Matrix vom Nilpotenzgrad 2, die auf einem 2-dimensionalen Vektorraum wirkt. Da also $\begin{align*} N^2=0 \end{align*}$ der Nulloperator ist, muss das Bild von $\begin{align*} N \end{align*}$ Teil seines Kerns sein, $\begin{align*} \operatorname{img} N\subseteq \operatorname{ker} N \end{align*}$ .

Nun kommt die 2-Dimensionalität des Vektorraums ins Spiel. Bild und Kern von $\begin{align*} N \end{align*}$ müsssen jeweils ein 1-dimensionaler Untervektorraum sein. Denn: Wäre das Bild 0-dimensional bzw. der Kern 2-dimensional, dann wäre $\begin{align*} N=0 \end{align*}$ . Wäre das Bild 2-dimensional, dann könnte die Matrix nicht nilpotent sein. Aus demselben Grund kann der Kern nicht 0-dimensional sein.

Es gilt also, dass Kern und Bild 1-dimensional sind, sowie $\begin{align*} \operatorname{img} N\subseteq \operatorname{ker} N \end{align*}$ . Daraus folgt die Identität von Kern und Bild von $\begin{align*} N \end{align*}$ .

12.04.2016, 18:30

vogs

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Vielen Dank für die Ausführungen!

Zitat:

Original von RavenOnJ
Ich möchte das mal in einen etwas allgemeineren Zusammenhang stellen und zeigen, dass in diesem Fall Kern und Bild sogar übereinstimmen müssen.

$\begin{align*} N \end{align*}$ ist ja eine nilpotente Matrix vom Nilpotenzgrad 2, die auf einem 2-dimensionalen Vektorraum wirkt. Da also $\begin{align*} N^2=0 \end{align*}$ der Nulloperator ist, muss das Bild von $\begin{align*} N \end{align*}$ Teil seines Kerns sein, $\begin{align*} \operatorname{img} N\subseteq \operatorname{ker} N \end{align*}$ .

Soweit bin ich leider mit Matrizen noch nicht, dass ich verstehe, was mir das sagt:
Da also $\begin{align*} N^2=0 \end{align*}$ der Nulloperator ist

Zitat:

Nun kommt die 2-Dimensionalität des Vektorraums ins Spiel. Bild und Kern von $\begin{align*} N \end{align*}$ müsssen jeweils ein 1-dimensionaler Untervektorraum sein. Denn: Wäre das Bild 0-dimensional bzw. der Kern 2-dimensional, dann wäre $\begin{align*} N=0 \end{align*}$ . Wäre das Bild 2-dimensional, dann könnte die Matrix nicht nilpotent sein. Aus demselben Grund kann der Kern nicht 0-dimensional sein.

Es gilt also, dass Kern und Bild 1-dimensional sind, sowie $\begin{align*} \operatorname{img} N\subseteq \operatorname{ker} N \end{align*}$ . Daraus folgt die Identität von Kern und Bild von $\begin{align*} N \end{align*}$ .

12.04.2016, 19:35

vogs

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Für mein Verständnis sei mir noch ein Beispiel erlaubt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Rang = 3
$\begin{eqnarray*} Kern=\mathcal{L}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Bild=\mathcal{L}(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Surjektiv und es gibt mindestens eine Lösung. Ist das soweit korrekt?

12.04.2016, 22:51

10001000Nick1

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Das Bild ist richtig, der Kern stimmt nicht.

Surjektiv kann die Abbildung nicht sein: Der Rang der Matrix (bzw. die Dimension des Bildes) ist 3. Die Matrix bildet aber von $\begin{eqnarray*} \mathbb K^4 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb K^4 \end{eqnarray*}$ ab.
Und was verstehst du unter "mindestens eine Lösung"?

12.04.2016, 23:49

RavenOnJ

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Rang, Kern und Bild sind richtig.

Deine Aussage, die Abbildung sei surjektiv, allerdings nicht. Der Endomorphismus kann gar nicht surjektiv sein, da der Kern nicht-trivial ist. Eine Begründung dafür könnte auch sein, dass die Abbildung nilpotent ist (mit Nilpotenzgrad 4). Ein nilpotenter Endomorphismus kann niemals surjektiv sein.

Was soll das mit der „einen Lösung”?

12.04.2016, 23:56

RavenOnJ

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
..., der Kern stimmt nicht.

Wieso das? verwirrt

verwirrt

Wenn du einen Vektor $\begin{align*} (a,b,c,d)^T \end{align*}$ betrachtest, so muss $\begin{align*} b=c=d=0 \end{align*}$ gelten, damit der Vektor zum Kern gehört.

13.04.2016, 17:21

10001000Nick1

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Hmm, keine Ahnung, was ich da gerechnet habe. War wohl schon zu spät. Hammer

Hammer

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