Martingale und unabhängige Zuwächse

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Max1324 Auf diesen Beitrag antworten »
Martingale und unabhängige Zuwächse
Guten Tag,

ich habe folgendes Problem:
Sei ein integrierbarer Prozess. Zu zeigen: Falls unabhängige Zuwächse besitzt, dann ist ein Martingal bzgl. der von erzeugten Filtration.

Die Angepasstheit und Integrierbarkeit habe ich bereits gezeigt, was mir aber Probleme bereitet, ist die Martingaleigenschaft, d. h.

Dies kann man mit einfachen Eigenschaften der bedingten Erwartung zurückführen auf das Problem:
Zu zeigen:
Das -messbar ist, ist klar, also bleibt noch zu zeigen, dass für gilt:

Dies gilt, falls die von erzeugte Sigma-Algebra unabhängig von ist. An dieser Stelle kommt sicherlich die Unabhängigkeit der Zuwächse ins Spiel, aber ich sehe gerade nicht, wie man das angeht.
Braucht man noch die Zusatzvoraussetzung ?
ist ja die von erzeugte Sigma-Algebra, enthält also auch endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigungen von Urbildern der . Wie kann man dann zeigen, dass für gilt:
?

Schonmal vielen Dank und liebe Grüße
Max
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Martingale und unabhängige Zuwächse
Hallo,
beachte zunächst, dass unabhängig von , wobei
. Nun ist aber (hier sollte man denke ich annehmen, dass ist). Nun beachtet man, dass ein schnittstabiles Mengensystem ist und unabhängig von diesem System ist. Dies ist aber ausreichend zu zeigen, dass (eigentlich die davon erzeugte sigma Algebra) unabhängig ist von (das hat man entweder in der Vorlesung oder eine Übungsaufgabe - zumindest war das bei mir so) ist.
Schließlich beachtet man dass ist (das sieht man sofort durch inklusion der erzeugenden Systeme). Dies zeigt also ist unabhängig von .

Ich habe jetzt mal stillschweigend angenommen, dass ihr unabhängige Zuwächse durch

sind unabhängig für alle

definiert habt (sonst habe ich deine Frage definitiv nicht verstanden Augenzwinkern ).

Schöne Grüße
Max1324 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Martingale und unabhängige Zuwächse
Herzlichen Dank, das ist wirklich sehr hilfreich!

Allerdings habe ich Probleme zu zeigen, dass


Hast du da eventuell noch einen Tipp für mich?
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Martingale und unabhängige Zuwächse
Hallo,

Ist , dann ist . Reicht dir das?

Schöne Grüße
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