Vektor transformieren mithilfe Givens-Rotation

13.04.2016, 21:48	Katerstimmung	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor transformieren mithilfe Givens-Rotation Meine Frage: Transformieren Sie den Vektor x=(4,-3,1)^T mittels Givens?Rotation auf ein Vielfaches des ersten Einheitsvektors (1,0,0)^T . Geben Sie die dabei verwendeten Givens?Matrizen explizit an. Meine Ideen: Ich weiß überhaupt nicht was ich mit der Aufgabe anstellen soll, würde mich über einen hilfreichen Ansatz freuen
14.04.2016, 09:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe ein bißchen für dich bei wiki nachgelesen und vermute nun, dass damit ganz normale Standarddrehungen um die Koordinatenachsen gemeint sind. Meine geometrische Anschauung sagt mir, dass durch Drehung um die z-Achse jeder Vektor in die x,z-Ebene gedreht werden kann, und dann genügt eine Drehung um die y-Achse, damit das Bild auf der x-Achse liegt. Drehmatrizen für Drehungen im R³ um die Koordinatenachsen enthalten immer eine 1 auf der Hauptdiagonalen und eine 2x2-Untermatrix mit cos und sin des Drehwinkels (achte auf die Vorzeichen).
14.04.2016, 10:01	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut Wikipedia ist eine Givens-Rotation eine Rotation in der Ebene. Der Bildvektor lautet $\begin{eqnarray} (\sqrt{26}\|0\|0) \end{eqnarray}$ , denn wie bei jeder Drehung hat er den gleichen Betrag wie der Urbildvektor $\begin{eqnarray} (4\|-3\|1) \end{eqnarray}$ . Wie bei jeder ebenen Drehung steht die Drehachse $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\vec n\|=1 \end{eqnarray}$ senkrecht auf derjenigen Ebene, die durch den Urbildvektor und den Bildvektor aufgespannt wird. ("Die Speichen eines Rades stehen bekanntlich immer senkrecht zur Achse.") Die Drehachse $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ ist also das normierte Vektorprodukt $\begin{eqnarray} \vec n=\frac{(4\|-3\|1) \times (\sqrt{26}\|0\|0)}{\|(4\|-3\|1)\|\cdot \|\sqrt{26}\|0\|0)} \end{eqnarray}$ Der Drehwinkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ist der Winkel zwischen Bildvektor und Urbildvektor (was übrigens nur bei ebenen Drehungen gilt). Also $\begin{eqnarray} \cos(\phi)=\frac{(4\|-3\|1) \cdot (\sqrt{26}\|0\|0)}{\|(4\|-3\|1)\|\cdot \|\sqrt{26}\|0\|0)} \end{eqnarray}$ Bei Kenntnis von Drehachse $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\vec n\|=1 \end{eqnarray}$ und des Drehwinkels $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ kannst du die Drehmatrix sofort hinschreiben. Wie das funktioniert, steht bei WIKIPEDIA unter dem Stichwort "Drehmatrix".

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