Duale Basis zu 2x2 Matrizen

16.04.2016, 10:42	Hananas	Auf diesen Beitrag antworten »
Duale Basis zu 2x2 Matrizen Meine Frage: Wie kann ich von der Standardbasis der 2x2-Matrizen die duale Basis bestimmen? Meine Ideen: Wenn ich anstatt der Matrizen Vektoren gegeben habe, weiß ich wie man es berechnen muss; also LGS mit Kronecker Delta aufstellen und lösen, aber wie mache ich das mit Matrizen?
16.04.2016, 16:51	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Duale Basis zu 2x2 Matrizen Die Elemente der dualen Basis sind Linearformen, also lineare Abbildungen, und du weißt, wie sie auf den Basisvektoren definiert sind. Was gibt es da noch zu bestimmen?
17.04.2016, 08:56	Hananas_Hananas	Auf diesen Beitrag antworten »
Duale Basis zu 2x2 Matrizen Ok, also die Linearformen sind ja die Elemente des Dualraums v*, also sind diese Elemente lineare Abbildungen von V in einen Körper K, bei mir sind es die reellen Zahlen. Aber wieso weiß ich, wie diese Linearformen auf den Basisvektoren definiert sind? Die eigentliche Aufgabe war, dass ich den Koordinatenvektor der Abbildung f, die jede 2x2 Matrix auf ihre Spur schickt, bezüglich der dualen Basis berechnen soll, aber als Übung wollte ich vorher die duale Basis bestimmen. Brauche ich denn diese Abbildung f, um die duale Basis bestimmen zu können, oder ist die duale Basis unabhängig von dieser Abbildung? Noch eine eigene Idee: Ich berechne f von den 4 Basisvektoren der 2x2 Matrizen und schreibe die Ergebnisse in die Spalten einer Matrix, dann erhalte ich eine 1x4 Matrix mit den Einträgen 1 0 0 1. Das kann doch nicht stimmen, da ich so das Kronecker Delta nicht gebraucht hätte oder? Vielen Dank schonmal, wenn jemand in diesem hoffnungslosen Fall hilft Hananas
17.04.2016, 17:07	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Duale Basis zu 2x2 Matrizen Die duale Basis hat gar nichts mit f zu tun. Sie hängt nur von der Basis von V ab. Ist $\begin{eqnarray} b_1, \ldots , b_4 \end{eqnarray}$ die Standardbasis der 2x2-Matrizen, dann gilt nach Definition der dualen Basis $\begin{eqnarray} b_i^(b_j)=\delta_{ij} \end{eqnarray}$ und damit weißt du, wie die Linarformen $\begin{eqnarray} b_i^* \end{eqnarray}$ auf den Basisvektoren $\begin{eqnarray} b_j \end{eqnarray}$ definiert sind. Deine eigen Idee bestimmt die Abbildungsmatrix von f bzgl. der beiden Basen. Das ist etwas ganz anderes. Gesucht sind $\begin{eqnarray} \lambda_1,\ldots,\lambda_4 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f=\sum_{i=1}^4 \lambda_ib_i^* \end{eqnarray*}$

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