Folge, die gegen x konvergiert, Bildfolge aber nicht gegen f(x)

17.04.2016, 11:38

Lillax

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Folge, die gegen x konvergiert, Bildfolge aber nicht gegen f(x)

Meine Frage:
Hallo,

ich suche gerade ein Beispiel für eine Folge, die gegen x konvergiert, deren Bildfolge aber nicht gegen f(x) konvergiert. Kann mir da jemand weiterhelfen?

Meine Ideen:
Kann ich daraus schließen, dass eine Funktion nicht stetig ist, wenn die Folge zwar gegen x konvergiert, die Bildfolge aber nicht gegen f(x)?

17.04.2016, 13:30

10001000Nick1

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Ja; die Funktion darf in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht stetig sein.

Was fallen dir denn für unstetige Funktionen ein?

17.04.2016, 15:47

Lillax

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zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x)=0 falls x<0 <br /> f(x)=1 falls x \geq 0 \end{eqnarray*}$ ?

17.04.2016, 15:59

10001000Nick1

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Gut; diese Funktion ist bei 0 unstetig, sonst stetig.

Wenn du also eine Folge mit den geforderten Eigenschaften finden willst, muss auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} x_n=0 \end{eqnarray*}$ gelten. Fällt dir eine solche Folge ein, bei der nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(0)=1 \end{eqnarray*}$ ist?

17.04.2016, 16:25

Lillax

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die Folge (1/x) konvergiert gegen 0.
Diese Funktion ist allerdings an der Stelle 0 nicht definiert, oder liege ich damit falsch?

17.04.2016, 16:32

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Lillax
Diese Funktion ist allerdings an der Stelle 0 nicht definiert, oder liege ich damit falsch?

An der Stelle 0 hast du doch oben selbst den Funktionswert 1 definiert. verwirrt

verwirrt

Falls du die Folge $\begin{eqnarray*} x_n=\frac{1}{\textcolor{red}{n}} \end{eqnarray*}$ meinst (nicht $\begin{eqnarray*} \frac 1x \end{eqnarray*}$ ), dann hast du da eine Nullfolge. Was ist denn $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f(\frac 1n) \end{eqnarray*}$ ?

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17.04.2016, 16:47

Lillax

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f(\frac 1n) \end{eqnarray*}$ ist 0, da die Zahl im Nenner immer größer wird und diese damit immer näher an 0 geht, aber niemals 0 wird.

17.04.2016, 18:35

10001000Nick1

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Mit dieser Begründung zeigst du nur, dass $\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert. Wir wollen aber den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f(\frac 1n) \end{eqnarray*}$ wissen.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hast du oben definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{cases} 0 & \text{ falls } x<0 \\ 1 & \text{ falls } x\geq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .
Du musst also nur wissen, ob $\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$ kleiner oder größer/gleich 0 ist. Dann weißt du, was $\begin{eqnarray*} f(\frac 1n) \end{eqnarray*}$ ist. Und was ist demzufolge der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f(\frac 1n) \end{eqnarray*}$ ?

17.04.2016, 18:49

Lillax

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Da müsste der Grenzwert dann 1 sein, da n ja immer größer wird, also positiv ist, und damit immer größer als 0 ist?

17.04.2016, 19:18

10001000Nick1

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Richtig.

Wir hatten aber eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ gesucht, bei der nicht bei der nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(0)=1 \end{eqnarray*}$ gilt. D.h. die Folge $\begin{eqnarray*} x_n=\frac 1n \end{eqnarray*}$ passt hier nicht.

Fällt dir noch eine andere Folge ein, die so ähnlich aussieht? Vielleicht funktioniert's ja mit der. smile

smile

18.04.2016, 12:00

Lillax

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Aber meine Folge konvergiert doch gegen 0 und meine Bildfolge gegen 1. Habe ich damit nicht gefunden, was ich suche? verwirrt

verwirrt

Eine weitere Idee für eine konvergente Folge wäre noch $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2} \end{eqnarray*}$ ... Nach meinem Verständnis konvergieren dabei aber sowohl Folge als auch Bildfolge gegen 1?

Ist es möglich, dass die Folge konvergiert und die Bildfolge divergiert?

18.04.2016, 12:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lillax
Aber meine Folge konvergiert doch gegen 0 und meine Bildfolge gegen 1. Habe ich damit nicht gefunden, was ich suche? verwirrt

verwirrt

Nein. Bei deiner Folge, die gegen Null konvergiert, konvergiert die Folge der Bilder gegen f(0). Und genau das wolltest du ja nicht haben. smile

smile

Überlege dir für deinen Zweck eine andere (ziemlich naheliegende) Folge.

18.04.2016, 12:52

Lillax

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also würde es passen, wenn ich zum Beispiel die Folge $\begin{eqnarray*} 1^{n} \end{eqnarray*}$ nehmen würde, weil diese gegen f(1) konvergiert? verwirrt

verwirrt

18.04.2016, 13:39

klarsoweit

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Irgendwie hast du deine (eigene?) Aufgabe nicht verstanden. Du brauchst eine Folge x_n, die gegen Null konvergiert. Von dieser Folge bildest du die Folge der Funktionswerte f(x_n). Und diese Folge darf dann nicht gegen f(0) konvergieren.

18.04.2016, 14:07

Lillax

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Mir ist die Aufgabe tatsächlich nicht ganz klar, aus dem Grund suche ich hier nach Hilfe. unglücklich

unglücklich

Würde das ganze nicht mit (1/n) funktionieren, wenn ich einfach f wie folgt ändern würde:
$\begin{eqnarray*} f(x)=0 falls x \leq 0 <br /> f(x)=1 falls x > 0 \end{eqnarray*}$

18.04.2016, 14:30

klarsoweit

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OK, das wäre natürlich eine Möglichkeit. (Das hängt jetzt von der ganz konkreten Aufgabenstellung ab, welche Wahlfreiheiten du hast.)

Falls du es bei der ursprünglichen Funktion belassen willst, mußt du (wie gesagt) nur eine andere geeignete Folge suchen.

18.04.2016, 14:30

Lillax

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mit der Folge $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n} )^{n} \end{eqnarray*}$ müsste das funktionieren? Das ist ja die e-Funktion und diese konvergiert gegen 2,7.... und die Bildfolge konvergiert gegen 1? Forum Kloppe

Forum Kloppe

18.04.2016, 14:37

klarsoweit

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Ist ja ganz nett, aber wir hatten uns darauf geeinigt, daß du eine Folge brauchst, die gegen Null konvergiert. Lehrer

Lehrer

18.04.2016, 14:42

Lillax

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weitere Folgen, die ich kenne, die gegen 0 konvergieren, sind:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ und z.B. $\begin{eqnarray*} (-0,5)^{n} \end{eqnarray*}$ . Allerdings weiß ich bei beiden nicht, ob die mich auf die gesuchte Lösung führen.

Also ist meine eben genannte Idee mit der e-Funktion keine Lösung für die Aufgabe? verwirrt

verwirrt

18.04.2016, 15:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lillax
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ und z.B. $\begin{eqnarray*} (-0,5)^{n} \end{eqnarray*}$ . Allerdings weiß ich bei beiden nicht, ob die mich auf die gesuchte Lösung führen.

Das könnte man ja mal prüfen. Du mußt dir ja jetzt nur noch die Folge der Funktionswerte ansehen. smile

smile

Zitat:

Original von Lillax
Also ist meine eben genannte Idee mit der e-Funktion keine Lösung für die Aufgabe? verwirrt

verwirrt

Nein, weil diese Folge - und da wiederhole ich mich - nicht gegen Null konvergiert. Da du aber die Stelle x_0 = 0 untersuchen willst (und nicht die Stelle x_0 = e) brauchst du eben eine Folge, die gegen Null konvergiert.

18.04.2016, 15:36

Lillax

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Dann muss das ganze mit $\begin{eqnarray*} (-0,5)^{n} \end{eqnarray*}$ funktionieren, da die Folge gegen 0 konvergiert. Allerdings nähert sie sich "von unten und von oben" der Null an. Aber wogegen konvergiert meine Bildfolge dann? Es ist ja immer abwechselnd ein "1-Wert" und ein "0-Wert" ?

18.04.2016, 15:56

klarsoweit

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Korrekt. Das ist offensichtlich eine Folge, die nicht konvergiert, erst recht nicht gegen den Funktionswert f(0). Aber du kannst auch eine Folge nehmen, die sich ausschließlich von unten der Null annähert. smile

smile

18.04.2016, 16:14

Lillax

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Oh man, das war ja jetzt echt gar nicht so schwer Hammer

Hammer

danke, auch für die Geduld Wink

Wink

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