Relationen

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Ehensel Auf diesen Beitrag antworten »
Relationen
Meine Frage:
Hallo,

ich beschäftige mich jetzt am Anfang vom Studium mit Äquivalenzrelationen und allgemein Relationen und das Untersuchen von ihnen auf bestimmte Eigenschaften bezüglich:

-Reflexivität

-Symmetrie

-Transitivität


Wenn all diese Eigenschaften erfüllt sind, wird von einer Äquivalenzrelationen gesprochen.

Hier die Aufgabe dazu:
Sei und es gibt eine Abbildung mit


Meine Ideen:
Mir ist nicht so ganz klar, wo ich in diesem Fall ansetzen korrekt ansetzen muss. Reflexivität müsste ja gegeben sein durch . Ist Symmetrie dann durch oder dargestellt?
Transitiv müsste das ganze dann ja sein, wenn aus und dann auch folgt.

Ich bin neu im Mathe Bachelor und hab noch wenig bis keine Routine in der Materie, also auch auf die Gefahr hin, dass die Frage blöd ist: Wenn ich dann eine (egal welche) Abbildung finde, für die alle 3 zutrifft, ist der ganze Ausdruck schon eine Äquivalenzrelation? In der Aufgabenstellung steht ja, es gibt eine Abbildung.

Danke schonmal!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst viel konkreter werden.
(r) Gib eine Abbildung f von N nach N an, so dass das Bild von A unter f gleich A ist
(s) Nimm an, es gibt ein f von N nach N mit f(A)=B. Konstruiere daraus eine Abbildung g von N nach N mit Bild von B unter g = A
(t) Abbildungen f mit f(A)=B und g mit g(B)=C gegeben, konstruiere eine Abbildung h mit h(A)=C
Ehensel Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Angenommen, die Mengen A und B sind gleich bzw. enthalten die gleichen Elemente, dann würde es ja reichen, wenn jedes Element immer auf sich selbst abbildet, richtig? Dann würde folgen:

(r) Für mit bildet ja jedes Element der Menge auf sich selbst ab, also .

Folglich .

Damit ist sie dann auch transitiv und symmetrisch, da ja wieder alle Elemente auf sich selbst abbilden.
. Analog für h.

Ist solch eine Überlegung erlaubt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die fragliche Relation ist reflexiv, wenn für alle Mengen , also für alle Teilmengen natürlicher Zahlen gilt . Das ist offensichtlich so für die Identität auf den natürlichen Zahlen, also ist reflexiv.

Für die anderen Eigenschaften musst Du viel sorgfältiger nachdenken und argumentieren, beweisen oder widerlegen. Du kannst nicht von einer festen Abbildung ausgehen, denn die Relation ist ganz anders definiert.
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