Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße Extremalpunkte und Mischung aus Extremalpunkten

19.04.2016, 00:00

Shalec

Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße Extremalpunkte und Mischung aus Extremalpunkten

Hallo allerseits,

ich kümmere mich gerade um son Krams aus der Stochastik.

M sei die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf einem abzähbaren Ergebnisraum Omega, vesehen mit der Potenzmenge von Omega als sigma-Algebra.

a) M konvex
b) Beschreiben Sie die Extremalpunkte von M und zeigen Sie, dass sich jeden Wahrscheinlichkeitsmap P aus M als "Mischung" von Extremalpunkten darstellen lässt, d.h.
$\begin{eqnarray*} P=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\alpha_i P_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha_i\in [0,1]\ \text{ und } \sum\limits_{i}\alpha_i =1 \text{ und } P_i \text{ extremal} \end{eqnarray*}$

a) war kein Problem.
b) Ich habe mal angenommen, dass ich einen Extremalpunkt kenne und diesen auf ein Elementarereignis angewandt:
$\begin{eqnarray*} p(w) = \alpha p_1(w) + (1-\alpha)p_2(w) = p_2(w) \end{eqnarray*}$ für die Wahrscheinlichkeitsmaße $\begin{eqnarray*} p_1,p_2\in M\ und\ \alpha\in[0,1] \end{eqnarray*}$ .
Damit sehe ich nun, dass jedes Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} p_i \leq p \end{eqnarray*}$ ist. (Denke ich jedenfalls zu solch später Stunde..)

Nun meine Frage zur Aufgabe: Ich muss doch erstmal zeigen, dass die Menge überhaupt Extremalpunkte hat. Ein Extremalpunkt, ist laut dem Zettel so definiert, dass aus der Konvexkombination eines Extremalpunktes folgt, dass die beiden Wahrscheinlichkeitsmaße identisch sein müssen. D.h. aus p=ax+(1-a)y => x=y für a aus (0,1).
Hier bräuchte ich die erste Stütze.

Dann muss ich vermutlich aus meiner ersten Betrachtung folgern können, dass eine solche "Mischung" für alle W'maße existiert. Wie bekomme ich hier den Schluss? Kann ich das einfach so sagen?

Viele Grüße und vielen Dank

19.04.2016, 08:01

HAL 9000

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Dir sollte wohl zunächst klar werden, wie diese Extremalpunkte hier konkret aussehen:

Das sind einfach die Einpunktverteilungen, d.h. naheliegenderweise so parametrisiert

$\begin{align*} P_i(\{j\}) = \begin{cases} 1 &\;\mbox{für}\;j=i\\ 0 &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$ ,

oder als Indikatorfunktion geschrieben einfach $\begin{align*} P_i(A) = 1_A(i) \end{align*}$ .

19.04.2016, 09:50

Shalec

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Zitat:

Original von HAL 9000
Dir sollte wohl zunächst klar werden, wie diese Extremalpunkte hier konkret aussehen:

Das sind einfach die Einpunktverteilungen, d.h. naheliegenderweise so parametrisiert

$\begin{align*} P_i(\{j\}) = \begin{cases} 1 &\;\mbox{für}\;j=i\\ 0 &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$ ,

oder als Indikatorfunktion geschrieben einfach $\begin{align*} P_i(A) = 1_A(i) \end{align*}$ .

Wie kann man das denn erkennen? Ich habe ja erstmal nur rein theoretische Konstrukte mit einer Definition dahinter. Elementarereignisse werden definitiv durch die Elemente abgebildet. Indikatorfunktionen sind auf natürlicherweise auch W'maße. Aber: Wie sehe ich, dass die Extremalfunktionen der Menge genau die Indikatorfunktionen sind?

Viele Grüße und vielen Dank schonmal für die Hilfestellung :-)

EDIT:

Angenommen ich habe ein Ereignis $\begin{eqnarray*} w\in\Omega \end{eqnarray*}$ mit dem Extremalwert $\begin{eqnarray*} P(w)=1 \end{eqnarray*}$ , dann gilt ja direkt
$\begin{eqnarray*} 1 = P(w) = \alpha P_1(w) + (1-\alpha) P_2(w)=P_2(w) \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} P_1 = P_2 \end{eqnarray*}$ gilt dies genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} P_2(w) = 1 ist \end{eqnarray*}$ , womit man dann direkt sieht, dass die Extremalfunktionen die Indikatorfunktionen sind.

Korrekt? smile

Der zweite Teil der Aufgabe scheint mir dann gewaltig trivial und nur vom jeweiligen $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ abhängig zu sein.

D.h. $\begin{eqnarray*} P(w) = \sum\limits_{i\in\mathbb N} \alpha_i P_i(w) = \alpha_w \end{eqnarray*}$ im Falle, dass P(w) > 0. Im Falle P(w)=0 ist einfach jede Indikatorfunktion =0. (natürliche Zahlen ohne 0)

Ist das bereits die Begründung? D.h. für beliebige $\begin{eqnarray*} w\in\Omega \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} P(w) = \begin{cases} \alpha_w & w\neq 0\\ 0& sonst\end{cases} \end{eqnarray*}$

19.04.2016, 14:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Shalec
Wie kann man das denn erkennen?

Ich kenne diesen man und seine Vorkenntnisse, Erfahrungen, Intuitionen nicht. Augenzwinkern

19.04.2016, 21:01

Shalec

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Shalec
Wie kann man das denn erkennen?

Ich kenne diesen man und seine Vorkenntnisse, Erfahrungen, Intuitionen nicht. Augenzwinkern

Man im Sinne von "you", also ich :P was aber auf das Gleiche hinausläuft.

Ist denn das, was ich im Edit getippt hatte, soweit korrekt?

Edit:
Wenn ich mir den Kram von mir oben so anschaue, bezweifle ich die Korrektheit im Gesamten.

Voraussetzung: http://www.math.uni-bremen.de/~dickhaus/...kript-stoch.pdf
Das Skript bis Seite 22 Big Laugh

20.04.2016, 18:40

Zündholz

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Hallo,
erstmal vorweg: P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, deshalb
kann es schnell sehr missverständlich werden wenn man $\begin{eqnarray*} P(\omega) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} P(\{\omega\}) \end{eqnarray*}$ schreibt.

Nach etwas nachdenken über deine Lösung glaube ich, dass du die richtige Idee für den ersten Teil hast (allerdings etwas sehr unverständlich aufgeschrieben).

Sei $\begin{eqnarray*} \bar \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} P(\{\bar \omega\}) = 1 \end{eqnarray*}$ (also der Idee/Ansatz von HAL folgend). Welchen Wert hat dann

$\begin{eqnarray*} P(\{\omega\}) = \sum_{i = 1}^\infty a_i P_i(\{\omega\}) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \setminus \{\bar \omega\} \end{eqnarray*}$ und was bedeutet das für die $\begin{eqnarray*} P_i \end{eqnarray*}$
(benutze da die Eigenschaften des W-Maßes)?

Das zeigt, dass die $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ Maße Extremalpunkte sind ( $\begin{eqnarray*} \delta_x(A) = 1 \end{eqnarray*}$ gdw $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ ; die Definition finde ich schöner, da bei Indikatorfunktionen schnell die falsche Vorstellung entsteht, dass es sich um eine Abbildung $\begin{eqnarray*} i \mapsto 1_A(i) \end{eqnarray*}$ handelt...).

Es bleibt noch zu zeigen, dass das die Einzigen sind, aber das folgt auch wieder unmittelbar aus der Definition eines W-Maßes (Stichwort sigma-Additivität).

Zu Teil 2: Auch hier hast du prinzipiell die Idee verstanden, es geht aber darum nicht $\begin{eqnarray*} P(\{\omega\}) \end{eqnarray*}$ zu definieren sondern $\begin{eqnarray*} a_\omega \end{eqnarray*}$ .

Schöne Grüße

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