Komplexe Differenzierbarkeit

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LYD Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Differenzierbarkeit
Guten Tag Wink
Mir fehlt bei einer Aufgabe leider der richtige Ansatz bzw. mir fallen gleich mehrere ein Big Laugh
Vielleicht kann mir ja jemand helfen...In der zweiten Klammer der Funktion meine ich z quer und keinen Vektor! Habe das Zeichen für Konjugation leider nicht finden können.
Bestimmen soll ich alle , in denen die Funktion f(z)= komplex differenzierbar ist, OHNE dabei auf die Cauchy-Riemannschen DGL zurückzugreifen.

Jetzt habe ich überlegt, den Differenzenquotienten mit zu bilden. Die andere Überlegung wäre für z einfach x+iy einzusetzen und dann munter auszumultiplizieren, um dann zu sehen, wo und wie man das Ganze ableiten kann...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mit der -Variante arbeiten:



Kritisch ist nur der rot markierte Teil. Führe eine Fallunterscheidung für durch. Für welche wird der kritische Teil machtlos? Und für die andern reicht es, durch spezielle Nullfolgen zu spezialisieren, in der Hoffnung, je nach Nullfolge verschiedene Grenzwerte zu erhalten.
LYD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rechnung habe ich soweit nachvollzogen, habe dasselbe Ergebnis.
Nun zu den übrigen Summanden...
Der erste Summand ist für alle z, deren Realteil oder Imaginärteil 0 ist, gleich null, oder?
Der rot markierte Teil wird gleich null, sobald 0 wird...
Jedoch fehlt da ja nach wie vor etwas denke ich verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LYD
Der erste Summand ist für alle z, deren Realteil oder Imaginärteil 0 ist, gleich null, oder?


Redest du von ? Dann verstehe ich das nicht. Es interessiert ja auch nur, was für passiert. Und das wäre: Der erste Summand ist unabhängig von .

Zitat:
Original von LYD
Der rot markierte Teil wird gleich null, sobald 0 wird...


Für welche geschieht das? Und was ist die Folgerung für ?
LYD Auf diesen Beitrag antworten »

Aaah ich glaube ich verstehe nun...
Klar, der erste Summand ist egal, da kein h darin auftaucht.

wird ja 0 für alle z mit Betrag 1, richtig?
D.h. f ist komplex differenzierbar in allen z aus C mit
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LYD
wird ja 0 für alle z mit Betrag 1, richtig?




Darüber solltest du noch einmal nachdenken. Es ist nicht so kompliziert, wie du denkst.

Zitat:
Original von LYD
D.h. f ist komplex differenzierbar in allen z aus C mit


Das mußt du, wie bereits angedeutet, noch verbessern. Aber was ist dann mit den andern ? Für die mußt du die Differenzierbarkeit oder Nichtdifferenzierbarkeit auch noch nachweisen. Einen Hinweis dazu findest Du schon in meinem ersten Beitrag.
 
 
LYD Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bleiben tatsächlich nur z=1 und z=-1 übrig Freude
So, nun soll ich also h durch Nullfolgen spezialisieren? Damit ist gemeint, h durch eine Nullfolge zu ersetzen? Also sowas wie zum Beispiel ?
Tidus1915 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sitze gerade an der selben Aufgabe (lustig, scheinbar gibt es in mehreren Vorlesungen die selbe Aufgabe).
Ich hab die Zwischenschritte im ersten Teil nicht so ganz verstanden, könntest du dazu vllt. 1-2 Worte sagen?
Was die Korrektur angeht:

impliziert, dass dies für alle z gilt, mit
und das bedeutet....*wiewardasnochmitwurzelnimkomplexen* :


Was ich noch nicht hingekriegt habe sind die Nullfolgen. Ich nehme an,dass diese zwingend Komplexwertig sein müssen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ LYD

Für haben wir auf jeden Fall Differenzierbarkeit. Der Vollständigkeit halber könntest du und noch angeben.

Jetzt bleiben die . Man hat ja den Verdacht, daß bei diesen nicht differenzierbar ist. Und vermutlich ist dafür verantwortlich. Daher ist es sinnvoll, erst einmal diesen Ausdruck für zu untersuchen und dann die Auswirkungen auf den gesamten Differenzenquotienten zu betrachten. Wir hoffen, daß für nicht konvergiert. Um das zu zeigen, genügt es, sich auf verschiedene Arten der 0 anzunähern, so daß sich unterschiedliche Grenzwerte ergeben. Du hast eine Möglichkeit genannt. Aber mach es doch nicht gleich wieder kompliziert. Laß das weg: . Und jetzt noch eine andere möglichst einfache Folge finden. Und unter den komplexen Zahlen gibt es ja auch imaginäre ...
LYD Auf diesen Beitrag antworten »

Oder aber wir sitzen in derselben VL Willkommen
Ich gehe auch davon aus, dass die Nullfolgen komplexwertig sein sollen, damit man sie mit dem verarbeiten kann...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tidus1915
Ich hab die Zwischenschritte im ersten Teil nicht so ganz verstanden, könntest du dazu vllt. 1-2 Worte sagen?


Da müßtest du dich präziser äußern, was du wo nicht verstanden hast.
Tidus1915 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich den Grenzwert aufschreibe und ausrechne bekomme ich eine Menge Summanden von der Form

Es kann sein, dass ich einfach nur zu lange schon am rechnen bin heute, aber ich kriege den Term generell nicht so umgeformt, dass ich den Nenner rauskürzen (bzw. umschreiben) kann. Daher meine Frage, ob du (Worte reichen) die ersten 1-2 Schritte mir kurz beschreiben könntest
Tidus1915 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry fürs Doppelposting. Ich hab mir folgende Gedanken gemacht zu
Lässt man h entlang der reellen Achse gegen 0 laufen, so ergibt der Grenzwert 1 (für alle
Wählt man jedoch die imaginäre Achse, so bekommt man einen Grenzwert von -1.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tidus1915
Lässt man h entlang der reellen Achse gegen 0 laufen, so ergibt der Grenzwert 1 (für alle )
Wählt man jedoch die imaginäre Achse, so bekommt man einen Grenzwert von -1 ()


So ist es. Und weil wir voraussetzen, liefert der rote Summand aus meinem ersten Beitrag unterschiedliche Grenzwerte, was auch zu unterschiedlichen Grenzwerten beim Differenzenquotienten führt: beziehungsweise

Zu deinen Rechenproblemen kann ich nicht viel sagen, wenn ich nicht alles vorrechnen will: Differenzenquotient aufstellen, im Zähler ausmultiplizieren und aus allen Summanden mit dem Faktor diesen ausklammern, entsprechend die Summanden mit . Wenn man dann durch dividiert, bekommt man den Term aus meinem ersten Beitrag.
LYD Auf diesen Beitrag antworten »

Okay verstanden, die Folge liefert dann = 1 und die Folge zB liefert = -1.
Somit haben wir gezeigt, dass es für keine anderen z außer 1 und -1 komplex differenzierbar ist. Stimmt das alles so?

@Tidus: Die Rechnung am Anfang stimmt in jedem Fall, wenn Du möchtest, kann ich sie Dir privat mal schicken, habe es ausführlich aufgeschrieben...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LYD
Okay verstanden, die Folge liefert dann = 1 und die Folge zB liefert = -1.


Und das natürlich auch im Grenzwert für .

Zitat:
Original von LYD
Somit haben wir gezeigt, dass es für keine anderen z außer 1 und -1 komplex differenzierbar ist. Stimmt das alles so?


Im Prinzip ja (wer ist "es"?). Man sollte jetzt nur noch die unterschiedlichen Grenzwerte angeben (ich habe sie in meinem vorigen Beitrag ergänzt). Und hübsch wäre auch noch die Angabe von und .
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