Diophantische Gleichungen

20.04.2016, 19:13

blaublau

Diophantische Gleichungen

Meine Frage:
Hallo!

Ich hab da mal eine Frage zu diophantischen Gleichungen!

Ich hab da ein beispiel das da lautet:
Bestimmen Sie alle Lösungen für die diophantische Gleichung 8x + 14y = 2

Meine Ideen:
Nun muss ich prüfen, ob die Gleichung lösbar ist => ja ist sie, da gcd (8,14) = 2 und 2 teilt 2.

nun weiß ich auch, dass ich mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus fortfahren muss, dann kommt für x= 2 und für y= -1 heraus.
x und y in die Gleichung einsetzen ergibt:
8*2 + 14*(-1) = 2

so bis hier her weiß ich wie es geht.
Kann mit aber bitte jemand beantworten
1)warum ich x und y einsetzen muss
2) wie ich nun auf alle Lösungen komme ?
3) und was mach ich mit der Formel $\begin{eqnarray*} x_{k}=x_{0}+k*\frac{b}{ggT} \end{eqnarray*}$ ?

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

21.04.2016, 10:29

thk

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Hallo, mit
$\begin{eqnarray*} x_{k}=x_{0}+k*\frac{b}{ggT} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y_{k}=y_{0}+k*\frac{a}{ggT} \end{eqnarray*}$
bekommst du für $\begin{eqnarray*} k \ni Z \end{eqnarray*}$ die allgemeine Lösung.

Das ist leichter zu erkennen beim Vereinfachen der diophantischen Gleichung zu
4x + 7y = 1.
Mit der speziellen Lösung (x_s, y_s) erhältst du
x=x_s + k*7 und y=y_s+k*4

Ergänzung zu Frage 1:
Jede Spezielle Lösung wie (2|-1) für k=0 oder z. B. (9|-5) für k=1 löst die dio. Gleichung.

LG

21.04.2016, 19:11

mYthos

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Zitat:

Original von thk
...
$\begin{eqnarray*} x_{k}=x_{0}+k*\frac{b}{ggT} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y_{k}=y_{0}\color{red}+\color{black}k*\frac{a}{ggT} \end{eqnarray*}$
bekommst du für $\begin{eqnarray*} k \ni Z \end{eqnarray*}$ die allgemeine Lösung.
...
Mit der speziellen Lösung (x_s, y_s) erhältst du
x=x_s + k*7 und y=y_s+k*4
...

Bei den $\begin{eqnarray*} y_k \end{eqnarray*}$ ist das Vorzeichen (rot) bei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \color{red}- \end{eqnarray*}$ wechseln.

mY+

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