Probleme mit Winkelfunktionen |
| 21.04.2016, 00:28 | benediktus1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nun habe ich, wie bei Zeichnung 2 zu sehen, nochmal zur Probe bei einem rechtwinkligen Dreieck versucht, den Winkel Alpha mit allen drei Winkelfunktionen (sin, cos, tan) auszurechnen. Ich dachte, wenn ich alle drei Seiten des Dreiecks kenne, könnte ich auch alle drei Winkelfunktionen benutzen, und es würde jeweils das gleiche Ergebnis rauskommen. Nun habe ich jedoch, wie in der Zeichnung zu sehen ist, auch hier drei verschiedene Werte für sin, cos und tan. Meine Fragen sind nun: 1) Wie kann das sein, dass bei Zeichnung "2", verschiedene Werte für die drei Winkelfunktionen herauskommen? Wo ist mein Denkfehler? 2) Wie komme ich bei Zeichnung 1, bei der es ja keinen rechten Winkel gibt, trotzdem auf die Größe des Winkels Alpha? Beziehungsweise eigentlich möchte ich nicht nur Alpha herausfinden, sondern die Einfallrichtung (Himmelsrichtung) der - von mir in der Zeichnung so benannten - Hypotenuse (ausgehend vom geologischen Kompass, bei dem Norden 0° [und 360°], Osten 90°, Süden 180° und Westen 270° ist). Dazu muss ich nach meiner Erkenntnis den Winkel Alpha berechnen und dann zu den 270°, der - von mir in der Zeichnung so benannten - Ankathete, addieren. |
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| 21.04.2016, 00:38 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zur 1.Frage: Wenn die Längenangaben stimmen ist das Dreieck nicht rechtwinklig, denn . Sollte der rechte Winkel vorliegen, dann hast Du nur mit Näherungswerten der Länge gerechnet, was zu dem Unterschied in den Ergebnissen führt. Zur 2.Frage: Du könntest den Cosinussatz im allgemeinen Dreieck nutzen oder das 45°-Dreieck zu einem rechtwinkligen ergänzen. Letzteres ist vermutlich der leichtere Weg. |
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| 21.04.2016, 01:12 | benediktus2 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also erstmal vielen Dank! Zu 1) Da steh ich jetzt mal wieder total auf dem Schlauch. Wenn ich - wie bei Zeichnung 2 - auf Kästchenpapier eine horizontale Linie mit einer vertikalen Linie zu einem Winkel verbinde, muss dieser doch automatisch 90° haben, da alle horizontalen Linien auf Kästchenpapier orthogonal (90°) zu den vertikalen Linien sind, oder? Und Näherungswerte können es eigentlich auch nicht sein, da ja jedes Kästchen auf Kästchenpapier exakt 0,5cm x 0,5cm ist. M.E. könnte es nur bei der Hypotenuse, die ja in der Zeichnung diagonal durch die Kästchen geht, zu minimalsten Abweichungen von den 6cm gekommen sein. Diese könnten aber höchstens im Mikrometerbereich liegen. Zu 2) "oder das 45°-Dreieck zu einem rechtwinkligen ergänzen" →↓↓↓ Kann ich dann einfach - wie im Bild unten ergänzt - in der Zeichnung aus dem 45°-Winkel einen 90°-Winkel machen, der zu meiner neuen Gegenkathete wird, dann die Hypotenuse und die Gegenkathete neu vermessen und anschließend bspw. mit arkustangens den Winkel Alpha berechnen? Bei einem Test habe ich mit allen drei Winkelfunktionen fast genau das gleiche Ergebnis bekommen (Minimale Abweichungen könnte man auf Messungenauigkeiten zurückführen). |
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| 22.04.2016, 11:06 | benediktus3 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also, ich stelle nochmal die eigentliche Aufgabe und meinen kompletten Lösungsweg vor. Ich möchte sicher gehen, dass ich das richtig gemacht habe, damit nicht alle folgenden Aufgaben auch falsch werden. Ich erkläre zu jedem Schritt unten im Bild meine Vorgehensweise: ___________________ 1) Es soll die Einfallrichtung auf einer geologischen Karte bestimmt werden. Diese ist immer exakt im 90°-Winkel zur Streichrichtung. Die Einfallrichtung wird als Himmelsrichtung angegeben, wobei Norden 0° (und 360°), Osten 90°, Süden 180° und Westen 270° sind. Die Einfallrichtung wird also irgendwo zwischen Norden und Osten sein. 2) Um die Einfallrichtung zu bestimmen, möchte ich den Winkel zwischen der Nord-Süd-Achse und der Einfallrichtung bestimmen (den Einfallwinkel). Wenn ich diesen am Ende mit der Gradzahl für Norden (0°) addiere, müsste ich nach meiner Erkenntnis die Gradzahl für die Einfallrichtung erhalten. Ich habe also in Zeichnung 2 die Nord-Süd-Achse - eine exakt senkrechte Linie - als Hilfe eingezeichnet. Zwischen Nord-Süd-Achse und Einfallrichtung habe ich den Einfallwinkel eingezeichnet, der berechnet werden soll. 3) Damit ich den Winkel berechnen kann, benötige ich ein Dreieck. Die dritte, bis dato fehlende Seite (a'), habe ich exakt parallel zur Streichrichtung eingezeichnet. Nun ergibt sich zwischen a' und Einfallrichtung meines Erachtens ein rechter Winkel, wodurch ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, bei dem man die Winkelfunktionen zur Winkelbestimmung anwenden kann. Es ergibt sich: 1) Die Nord-Süd-Achse ist die Hypotenuse des Dreiecks 2) die Einfallrichtung ist die Ankathete des Dreiecks 3) a' ist die Gegenkathete des Dreiecks. 4) Nun messe ich zwei beliebige Seiten des Dreiecks. Die Hypotenuse misst 2cm und die Gegenkathete misst 1,3cm. 5 Wenn ich die Länge von Gegenkathete und Hypotenuse vorliegen habe, kann ich den sinus anwenden, um den Einfallwinkel zu berechnen. In die Formel eingesetzt: sin^-1 x (1,3/2) = 40,54 Der Einfallwinkel misst also 40,54 Grad. Nun addiere ich die 40,54 Grad mit der Gradzahl für Norden: -> 0 + 40,54 = 40,54 -> Mein Ergebnis lautet: Die Richtung der Einfallsrichtung ist 40,54° ________________________ So, vielleicht hat ja jemand Zeit und Lust da mal drüberzugucken 
. Ich wäre auf jeden Fall sehr dankbar. |
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| 22.04.2016, 14:31 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vom mathematischen her ist das in Ordnung, vom praktischen her ist die Frage wie genau Du die Angaben brauchst bzw. welche Abweichungen Du zu akzeptieren bereit bist. Messen beinhaltet nämlich immer eine gewisse Ungenauigkeit, was ja auch in der Zeichnung 1 oben das Problem war. Du hast eine Länge abgelesen, die mathematisch aber nur eine Näherung darstellt, denn die tatsächlichen Längen lassen sich nicht exakt messen. Nehmen wir mal an die tatsächlichen Längen sind nicht 2 und 1,3 cm, sondern 2,01 und 1,29. Dann ergibt sich ein Winkel, der um ein halbes grad kleiner ist. |
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| 22.04.2016, 19:25 | benediktus | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok, vielen Dank fürs Drüberschaun. Ich denke, in diesem Fall ist es einfacher den Einfallwinkel einfach mit dem Geodreieck zu messen. Vermutlich dürfte das sogar etwas exaktere Ergebnisse geben. |
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