Erwartungswert: existent?

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Kvasil Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert: existent?
Hallo,

der Erwartungswert einer diskret verteilten Zufallsvariable existiert doch nur, wenn der dazugehörige Wertebereich eine Teilmenge der Natürlichen Zahlen inkl. 0 ist - korrekt?

Wie sieht es aus, wenn:



.

Hier sollte es gehen, da ja "nur" die Zufallsvariablen negativ sind.

Wie könnte ein Beispiel dafür aussehen, dass der Wertebereich z.b. negativ ist?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

eine Zufallsgröße ist eine Funktion mit



wobei nicht unbedingt aus Zahlen besteht. Meistens werden aber die Ergebnisse auf Zahlen abgebildet im diskreten Falle:



Da verwechselst du Definitionsmenge mit Wertemenge.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du darauf, daß der Wertebereich einer diskreten Zufallsvariablen eine Teilmenge der natürlichen Zahlen sein muß? Stelle dir vor, jeden Tag übers Jahr um 12.00 Uhr wird auf 1° C genau die Temperatur in einer hoch gelegenen Wetterstation gemessen. Vielleicht ergibt sich die folgende Verteilung für (Werte in °C):



Und warum sollte jetzt , also die jährliche Durchschnittstemperatur, nicht negativ sein?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
eine Zufallsgröße ist eine Funktion mit



wobei nicht unbedingt aus Zahlen besteht. Meistens werden aber die Ergebnisse auf Zahlen abgebildet im diskreten Falle:



Da verwechselst du Definitionsmenge mit Wertemenge.


@ Dopap

Auch du verwechselst da etwas. Irgendwie gehen Zufallsgröße und ihre Verteilung bei dir ein unheilvolles Wechselspiel ein.

@ Kvasil

Ist der dem Wahrscheinlichkeitsraum zugrunde liegende Ergebnisraum, dann ist eine Zufallsgröße eine Abbildung , jedenfalls im gängigsten Fall. (Wahrscheinlichkeitsexperten mögen eine allgemeinere Definition zugrunde legen.)

Nehmen wir mein Beispiel mit den Temperaturen. Wenn wir die Tage des Jahres mit durchnumerieren, dann wäre , und du kannst dir vorstellen als diejenige Funktion, die jedem Tag die Temperatur in °C zuordnet:

(Temperatur am 1. Januar)

(Temperatur am 2. Januar)



(Temperatur am 30. Dezember)

(Temperatur am 31. Dezember)

selbst braucht, da hat Dopap recht, nicht aus Zahlen zu bestehen. Man hätte ja auch



schreiben können.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
@ Dopap
Auch du verwechselst da etwas. Irgendwie gehen Zufallsgröße und ihre Verteilung bei dir ein unheilvolles Wechselspiel ein.


Ja, das war leider etwas vorschnell. Nicht richtig nachgedacht.
Kvasil Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Danke für die Antworten und das ausführliche Beispiel!

Irgendwo hatten wir mal bei einer Definition, dass der Erwartungswert nur existiert, wenn... da muss ich mich wohl stark geirrt haben.

Noch etwas:
Wir haben folgende Definition notiert:

Sei X eine Zufallsvariable mit endlichem Wertebereich und der Verteilung
Dann heißt die Größe Erwartungswert von X.

Wie soll ich das mit dem endlichen Wertebereich genau verstehen?

EDIT: Wenn ich es jetzt so betrachte...: FALLS der Wertebereich meiner Zufallsvariable X eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist, dann ist er auch endlich und abzählbar und damit existiert E(X), korrekt?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kvasil
Wie soll ich das mit dem endlichen Wertebereich genau verstehen?


So:

Zitat:
Original von Kvasil
Sei X eine Zufallsvariable mit endlichem Wertebereich und der Verteilung

Dann heißt die Größe Erwartungswert von X.


In dieser Definition wird der Erwartungswert halt nur für eine Zufallsgröße mit endlichem Wertebereich definiert. (Daß man den Erwartungswert auch in anderen Fällen definieren kann, wird hier nicht weiter besprochen.)

Zitat:
Original von Kvasil
EDIT: Wenn ich es jetzt so betrachte...: FALLS der Wertebereich meiner Zufallsvariable X eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist, dann ist er auch endlich und abzählbar und damit existiert E(X), korrekt?


Ist die Menge der geraden natürlichen Zahlen, eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, endlich?
Kvasil Auf diesen Beitrag antworten »

.. natürlich nicht unglücklich

Also.. Ich habe nochmal durchgewühlt:

Der Erwartungswert existiert, wenn die folgende Reihe absolut(!) konvergiert:

.

Ist das nun gleichbedeutend damit, dass:

1. ist endlich.
2. ?

Aus Punkt 2 wurde bei uns die oben genannte absolute Konvergenz gefolgert.

Und was ist mit den Fällen, dass diese Reihe gegen konvergiert?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe dein Problem nicht. Vielleicht liegt es daran, daß du die Fachbegriffe im Satz nicht richtig zuordnen kannst. Was verstehst du denn unter den Werten von und unter ? Wenn wir das geklärt haben, können wir weitermachen. Vielleicht nimmst du noch einmal mein Beispiel mit den Temperaturen und versuchst, die Begriffe daran zu erklären.
Kvasil Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ich verstehe dein Problem nicht. Vielleicht liegt es daran, daß du die Fachbegriffe im Satz nicht richtig zuordnen kannst. Was verstehst du denn unter den Werten von und unter ? Wenn wir das geklärt haben, können wir weitermachen. Vielleicht nimmst du noch einmal mein Beispiel mit den Temperaturen und versuchst, die Begriffe daran zu erklären.


In deinem Beispiel wäre:

... die Tagesdurchschnittstemperatur
... die Menge der möglichen Temperaturen; grundsätzlich wäre , logisch betrachtet aber vielleicht eher oder zumindest ein Intervall dieser Art.

Bis hierhin erstmal.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kvasil
Der Erwartungswert existiert, wenn die folgende Reihe absolut(!) konvergiert:

.

Das ist zunächst mal korrekt.


Das "gleichbedeutend" in deinen nachfolgenden Fragen ist aber unzutreffend. Richtig ist:

Endliches ist hinreichend für die Existenz des Erwartungswertes: In dem Fall wird aus der obigen Reihe schlicht eine Summe, und die existiert natürlich in jedem Fall.

Im Fall ist die Forderung der absoluten Konvergenz gleichbedeutend mit der Forderung nach bloßer Konvergenz - in dem Fall sind nämlich sämtlicher Glieder der obigen Reihe nichtnegativ. Allgemein kann aber auf die Forderung der absoluten Konvergenz nicht verzichtet werden:

Konvergiert die Reihe normal, aber nicht absolut, so würde das bei einer "Umindizierung" der unter Beibehaltung derselben zugrundeliegenden Verteilung dann plötzlich einen anderen bzw. gar keinen existenten Erwartungswert ermöglichen - ein Unding hinsichtlich einer eindeutigen Definition des Erwartungswertes. unglücklich

Zitat:
Original von Kvasil
Und was ist mit den Fällen, dass diese Reihe gegen konvergiert?

Im Reellen gibt es keine Konvergenz gegen , korrekt ist die Formulierung "bestimmte Divergenz". In dem Fall existiert der Erwartungswert nicht, dennoch ist die Schreibweise bzw. in diesem Fall üblich (in Abgrenzung zum nichtexistenten Erwartungswert aufgrund unbestimmter Divergenz wie etwa bei der Cauchy-Verteilung).
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