Äquivalenz von Linksinvertierbarkeit und Injektivität von f

24.04.2016, 18:53	kev04	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz von Linksinvertierbarkeit und Injektivität von f Meine Frage: Zusatz zum Titel. f:M->M wobei M eine nicht leere Menge ist. Meine Ideen: li.inv.=> Injektivität Es gelte f(x)=f(y) Dann folgt mit g li. inv. zu f g(f(x))=g(f(y)) => x=y. Da x,y bel. ist f injektiv. Bei der anderen Richtung habe ich keine Ahnung wie ich anfangen soll. Ist die Hinrichtung zumindest richtig? Und hat jemand eine Idee für die andere Richtung?
25.04.2016, 14:11	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz von Linksinvertierbarkeit und Injektivität von f Ja, die Hinrichtung ist korrekt. Bei der Rückrichtung ist es schwierig Tipps zu geben, ohne direkt die Lösung zu verraten, aber ich versuche es mal: Wir wollen explizit eine Linksinverse $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konstruieren. Dazu analysieren wir die Situation. Sei $\begin{eqnarray} f: M \to M \end{eqnarray}$ injektiv. Falls $\begin{eqnarray} y\in M \end{eqnarray}$ im Bild von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ liegt, also $\begin{eqnarray} y \in \operatorname{im}(f) \end{eqnarray}$ , existiert ein eindeutiges Urbild von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ . Das heißt es existiert genau ein $\begin{eqnarray} x\in M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = y \end{eqnarray}$ . Dann muss $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ schicken. Falls $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ nicht im Bild von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ liegt, kann die Linksinverse "damit machen, was sie will" um es etwas unmathematisch auszudrücken und nicht die ganze Lösung zu verraten. Weißt du jetzt, wie du $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ konstruieren musst? Mach dazu die Fallunterscheidung wie ich oben gezeigt habe.
25.04.2016, 19:02	kev04	Auf diesen Beitrag antworten »
g:M->M 1. Fall: y in im(f) g(y)=x 2. Fall: y nicht in im(f) g(y)=y bzw. bel. Ist es wichtig wie ich g im zweiten Fall wähle? Macht eigentlich keinen Unterschied oder?
26.04.2016, 11:28	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Du könntest im 2. Fall einfach ein beliebiges, festes Element $\begin{eqnarray} m \in M \end{eqnarray}$ wählen. Daran siehst du, dass Linksinverse im Allgemeinen nicht eindeutig sind. Jetzt musst du das natürlich noch sauber mit meinen Bemerkungen von oben aufschreiben. Dann solltest du noch Nachrechnen, dass deine so definierte Funktion eine Linksinverse ist. Das sollte aber kein Problem sein.
27.04.2016, 15:11	kev04	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für die späte Anwort, aber ich wollte noch danke sagen.

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