Nachweis einer Gruppe

24.04.2016, 23:54

mathenoob321

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Nachweis einer Gruppe

Meine Frage:
Zeigen sie, dass (G,*) mit $\begin{eqnarray*} G= \left\{ a+b*\sqrt{2} : a,b\in \mathbb Q , a^{2} + b^{2} \neq 0\right\} \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist, nachzuweisen, dass das Assoziativ Gesetz gilt, ein neutrales Element existiert und ein Inverses Element zu jedem Element vorhanden ist. Zudem sollte das ganze abgeschlossen sein also MxM->M nur nach M abbilden, nicht ausserhalb der Menge.
1. Assoziativität: da fängt es schon an, dass ich nicht weiss wie ich das ganze interpretieren soll... ich gehe mal davon aus, dass
$\begin{eqnarray*} a*b = ( a_{1} + a_{2} * \sqrt{2} ) * ( b_{1} + b_{2} * \sqrt{2} ) \end{eqnarray*}$ sein soll? also muss gelten $\begin{eqnarray*} \forall a,b,c\in G : (a*b)*c=a*(b*c) \end{eqnarray*}$ ->
$\begin{eqnarray*} (a*b)*c=((a_{1}+a_{2}*\sqrt{2})*(b_{1}+b_{2}*\sqrt{2}))*(c_{1}+c_{2}*\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(a_{1}+a_{2}*\sqrt{2})*((b_{1}+b_{2}*\sqrt{2})*(c_{1}+c_{2}*\sqrt{2}))=a*(b*c) \end{eqnarray*}$
Trivial, da Multiplikation auf Mengen immer Assoziativ ist. (reicht das als Antwort??)

2. Existenz eines (rechts und links)neutralen Elements:
$\begin{eqnarray*} \exists e \in G : \forall a \in G : e*a=a*e=a \end{eqnarray*}$
neutrales Element auf gewöhnlicher Multiplikation bei Mengen ist immer 1, also:
$\begin{eqnarray*} 1=a+b*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ -> eindeutige Lösung -> a=1 , b=0 -> $\begin{eqnarray*} e= 1+ 0*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e\in G \end{eqnarray*}$
(reicht das als Antwort??)

3. Existenz eines Inversen Elements:
$\begin{eqnarray*} \forall a\in G\exists a^{-1} \in G : a*a^{-1}=a^{-1}*a=e \end{eqnarray*}$
und hier hört es bei mir schon auf... wäre es möglich, dass
$\begin{eqnarray*} (a+b*\sqrt{2}) * \frac{1}{a+b*\sqrt{2}} = e = 1 \end{eqnarray*}$ schon als Lösung reicht? oder muss man erstmal annehmen, dass $\begin{eqnarray*} (a+b*\sqrt{2}) * x =e =1 \end{eqnarray*}$ wobei sich bei mir dann die frage stellt, ob a,b des Inversen Elements überhaupt noch Elemente der Rationalen Zahlen sind... (was bei einigen eingesetzten Testwerten schon fehlschlug.... Daher die Befürchtung, dass der komplette Ansatz falsch ist..... ) Wäre nett, wenn jemand eine Idee hätte wo meine Fehler liegen. Danke im voraus!

25.04.2016, 00:20

Helferlein

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Hierzu hatten wir vor kurzem einen Beitrag. Am besten liest Du Dir den erst einmal durch.

25.04.2016, 00:51

mathenoob321

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Danke für die schnelle Antwort, leider hilft mir das nicht wirklich viel weiter bis auf den Teil

Zitat:

Original von Huggy: $\begin{eqnarray*} x,y \in G \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} xy \in G \end{eqnarray*}$ . Das muss ja auch bewiesen werden.

$\begin{eqnarray*} G \times G \Rightarrow G \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a_{1}+a_{2}*\sqrt{2})*(b_{1}+b_{2}*\sqrt{2})=(c_{1}+c_{2}*\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ???

Sieht für mich so aus, als wäre da alles Irrational, sodass überhaupt nicht gilt $\begin{eqnarray*} G \times G \Rightarrow G \end{eqnarray*}$ da ja, damit das ganze überhaupt eine innere verknüpfung ergibt: $\begin{eqnarray*} a_{1,2} b_{1,2} c_{1,2} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sein muss, was meiner Ansicht nach, nicht der Fall ist...

Wichtig wäre für mich erstmal zu wissen, ob überhaupt einer meiner Lösungsansätze im Ansatz richtig ist?! traurig

traurig

Edit: Wir sollen ja Zeigen, dass es eine Gruppe ist, und nicht, dass es keine ist, also muss ich doch haufenweise Fehler gemacht haben, oder?

25.04.2016, 06:51

Helferlein

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Hab leider erst heute abend wieder Zeit für eine ausführlichere Antwort. Daher in Kurzform:

1. Rechnung überflüssig, siehe Beitrag von Huggy
2. Korrekt
3. Wieso hat das Inverse die gewünschte Gestalt?
4. Abgeschlossenheit weist Du durch Ausmultiplizieren und umsortieren nach.

25.04.2016, 21:59

mathenoob321

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O.K. Also, Abgeschlossenheit (innere Verknüpfung) wäre hiermit bewiesen:

$\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt{2}) (c+d\sqrt{2}) = a(c+d\sqrt{2}) + b\sqrt{2} (c+d \sqrt{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = ac+ad\sqrt{2}+bc\sqrt{2}+2bd = (ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
dann das ganze Substituieren:
$\begin{eqnarray*} e := (ac+2bd) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f := (ad+bc) \end{eqnarray*}$
wobei immernoch gilt: $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e,f\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (e+f\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$
und damit: $\begin{eqnarray*} G*G\Rightarrow G \end{eqnarray*}$

Aber bei dem inversen Element stehe ich immer noch auf dem Schlauch.... unglücklich

unglücklich

25.04.2016, 22:37

Helferlein

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Erweitere das Inverse mit $\begin{align*} a-b\sqrt2 \end{align*}$

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25.04.2016, 23:02

mathenoob321

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$\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt{2})+\frac{1}{(a+b\sqrt{2})}=1+0\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
erweitert mit: $\begin{eqnarray*} a-b\sqrt2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+0\sqrt{2}=(a+b\sqrt{2})+\frac{a-b\sqrt{2}}{(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+0\sqrt{2}=(a+b\sqrt{2})+ \frac{a-b\sqrt{2}}{a^{2}-2b^{2}} \end{eqnarray*}$

Es soll doch gezeigt werden, dass: $\begin{eqnarray*} a^{-1}\in G \end{eqnarray*}$ in wie fern soll mir das weiter helfen? unglücklich

unglücklich

26.04.2016, 00:00

Helferlein

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Keine Ahnung, was du da zeigen wolltest. Was soll die additive Verknüpfung eines Elements mit seinem multiplikativen Inversen bewirken?
Ich hatte Dich lediglich aufgefordert die Inverse $\begin{align*} \frac 1{a+b\sqrt2} \end{align*}$ mit $\begin{align*} a-b\sqrt2 \end{align*}$ zu erweitern. Ziel ist es zu erkennen, dass das Inverse auch in der Menge liegt.

26.04.2016, 00:10

mathenoob321

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Woran erkenne ich denn, dass:
$\begin{eqnarray*} \frac{a-b\sqrt{2}}{a^{2}-2b^{2} } \end{eqnarray*}$
in der Menge liegt? Hammer

Hammer

26.04.2016, 00:30

Helferlein

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Anscheinend siehst Du den Wald vor lauter Bäumen nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{a-b\sqrt{2}}{a^{2}-2b^{2} } =\frac{a}{a^{2}-2b^{2}}-\frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt2 \end{eqnarray*}$

26.04.2016, 00:38

mathenoob321

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Ach, Natürlich.... Danke für's Augen öffnen.....

aber, gibt es denn keinen einfacheren Weg? ich meine, woher soll man wissen, womit man erweitern muss, damit es passt? im Endeffekt ist der Schritt, der mir auch schon bei Induktion immer Probleme gemacht hat, genau der. Man weiß ja normalerweise, was rauskommen soll, aber der Sprung ist nicht immer deutlich und für "Anfänger" nicht leicht zu sehen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(a+b\sqrt{2})} = .... = \alpha +\beta \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

MfG

Edit: Oben hatte ich mich natürlich vertippt, es sollte kein + sein, sondern *

26.04.2016, 11:07

Huggy

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Zitat:

Original von Helferlein
Anscheinend siehst Du den Wald vor lauter Bäumen nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{a-b\sqrt{2}}{a^{2}-2b^{2} } =\frac{a}{a^{2}-2b^{2}}-\frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt2 \end{eqnarray*}$

Um vollständig zu sein, muss man noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a^{2}-2b^{2} \end{eqnarray*}$ nicht Null werden kann. Das ist zwar simpel, gehört aber dazu.

26.04.2016, 12:02

Elvis

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Es gibt einen viel einfacheren Weg, man muss nur Zahlentheorie studieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da lernt man unter anderem, dass dies die multiplikative Gruppe eines quadratischen Zahlkörpers über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist.

26.04.2016, 18:44

mathenoob321

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Klingt aufregend, ich konzentriere mich aber trotzdem lieber erstmal auf Die Grundlagen, um in der IT-Mathematik dran zu bleiben ^^ ,
jedenfalls danke euch, für die nette Unterstützung, ich gehe mal davon aus, dass $\begin{eqnarray*} a^{2}-2b^{2} \end{eqnarray*}$ nicht Null sein kann, da unter anderem gilt: $\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2} \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

MfG

26.04.2016, 19:57

Elvis

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Davon kannst Du ausgehen, sonst wäre $\begin{eqnarray*} a^2-2b^2=0\Rightarrow a^2=2b^2\Rightarrow 2=\frac {a^2}{b^2}\Rightarrow \sqrt2=\frac a b\Rightarrow \sqrt 2\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Dass dem nicht so ist, hat schon Euklid gewußt.

26.04.2016, 20:06

mathenoob321

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Na dann sind wir uns ja einig! Prost

Prost

Danke nochmal für die Hilfe, an alle beteiligten! ^^

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