Skalarprodukt im euklidischen Vektorraum

27.04.2016, 01:28

Minki123

Skalarprodukt im euklidischen Vektorraum

Meine Frage:
Zeige, dass in einem Euklidischen Vektorraum E gilt:

Zeige, dass in einem Euklidischen Vektorraum E gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall x,y\in E:\left\{ x,x \right\} = \left\{ x,y \right\} = \left\{ y,y \right\} \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$
wobei die {.,.} das Skalarprodukt sein soll

Meine Ideen:
Mein Ansätz wäre jetzt gewesen, das ganze als Normen zu schreiben und dann alles soweit umzuformen bis am Ende die Norm //(x-y)//^2 =0 da steht und ich daraus folgern kann, dass x-y =0 sein muss und daher x=y ? kann man das so machen?

27.04.2016, 09:15

klarsoweit

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RE: Skalarprodukt im euklidischen Vektorraum
Hm. Kann es sein, daß eigentlich die Behauptung x = y = 0 lautet?

27.04.2016, 09:47

Minki123

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soweit meinem Professor kein Tippfehler passiert ist, nein. da steht eindeutig => x=y

27.04.2016, 09:51

HAL 9000

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$\begin{align*} \langle x,x\rangle = \langle x,y\rangle = \langle y,y\rangle \end{align*}$ kommt symbolmäßig besser hin, bei {} denkt man unwillkürlich zu sehr an Mengen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Minki123
Mein Ansätz wäre jetzt gewesen, das ganze als Normen zu schreiben und dann alles soweit umzuformen bis am Ende die Norm //(x-y)//^2 =0 da steht und ich daraus folgern kann, dass x-y =0 sein muss und daher x=y ? kann man das so machen?

Exakt so klappt es. Freude

27.04.2016, 10:01

klarsoweit

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@Minki123: prinzipiell spricht nichts gegen dein Vorgehen. Mich beschäftigt nur dies:

Wenn $\begin{align*} \langle x,x\rangle = \langle x,y\rangle = \langle y,y\rangle \end{align*}$ für alle x,y gilt, dann insbesondere auch für x = 0,5 * y .

Also: $\begin{align*} \frac 1 4 \cdot \langle y,y\rangle = \frac 1 2 \cdot \langle y,y\rangle = \langle y,y\rangle \end{align*}$ woraus $\begin{align*} \langle y,y\rangle = 0 \end{align*}$ folgt.

27.04.2016, 10:21

HAL 9000

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@klarsoweit

Ich hab das anders gelesen: Nicht dass ... für alle x,y gilt, sondern dass für alle x,y mit ... dann x=y folgt.

D.h. deutlich geklammert: $\begin{align*} \forall x,y\in E: \; \Big( \langle x,x \rangle = \langle x,y \rangle = \langle y,y \rangle \,\Rightarrow\, x=y \Big) \end{align*}$

27.04.2016, 10:31

klarsoweit

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OK, so wird es verständlicher. (Ich hatte es anders aufgefaßt.)

27.04.2016, 10:35

IfindU

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@klarsoweit
Bei deiner Interpretation wäre $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ leichter zu folgern, wenn man einfach $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ setzt. Dann steht dort noch direkter $\begin{eqnarray*} \langle 0, 0 \rangle = \langle y, y \rangle \end{eqnarray*}$ .

27.04.2016, 12:14

Mink123

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$\begin{eqnarray*} \|x\|^2 =1/2 *( \|x\|^2 +\|y\|^2 - \|x-y\|^2) => \|x\|^2 +\|x\|^2 = \|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2 =>\|x\|^2= \|y\|^2 -\|x-y\|^2 \end{eqnarray*}$

und das jetzt in die Gleichung mit y eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 2*\|y\|^2=\|y\|^2-\|x-y\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2 => 0=2*\|x-y\|^2 =>\|x-y\|^2=0 => x-y=o => x=y \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

27.04.2016, 12:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mink123
$\begin{eqnarray*} \|x\|^2 =1/2 *( \|x\|^2 +\|y\|^2 - \|x-y\|^2) \end{eqnarray*}$

Wie ist diese Gleichung entstanden?

Ohnehin würde ich eher so anfangen: $\begin{eqnarray*} \|x-y\|^2 = (x-y) \cdot (x-y) = ... \end{eqnarray*}$

27.04.2016, 13:37

Minki123

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okay ich hab jetzt mal mit deinem ansatz weitergemacht

aber kann ich für das innere Produkt von x mit x einfach x^2 schreiben, oder muss ich da alles in Koordinaten aufspalten (also x1^2+..+xn^2)?

dann könnte man ja ganz einfach so weiter machen:

$\begin{eqnarray*} x^2 = 1/4*(x^2+2xy+y^2-(x^2-2xy+y^2) => 4*x^2=4*xy =>x=y \end{eqnarray*}$

ich hatte mich vorhin bei der definition verschaut, das skalarprodukt von x und y ist ja mit $\begin{eqnarray*} 1/4*(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2) \end{eqnarray*}$ definiert

27.04.2016, 13:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Minki123
aber kann ich für das innere Produkt von x mit x einfach x^2 schreiben, oder muss ich da alles in Koordinaten aufspalten (also x1^2+..+xn^2)?

Statt x² würde ich $\begin{align*} \langle x,x\rangle \end{align*}$ bevorzugen. Die Aufspaltung in Koordinaten ist unnötig und man weiß ja auch gar nicht, ob dies der Vektorraum überhaupt hergibt.

Zitat:

Original von Minki123
dann könnte man ja ganz einfach so weiter machen:

$\begin{eqnarray*} x^2 = 1/4*(x^2+2xy+y^2-(x^2-2xy+y^2) \end{eqnarray*}$

Ausgehend von $\begin{align*} \langle x-y, x-y \rangle \end{align*}$ geht es viel einfacher. Einfach mal das Skalarprodukt mit dem Distributivgesetz aufdröseln. smile

27.04.2016, 14:03

Minki123

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also ist es falsch so wie ich es aufgeschrieben habe?
oder ist das was du meinst nur eine andere variante es auszurechen?

27.04.2016, 15:09

klarsoweit

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Deine Rechnung ist nicht falsch, aber sie erscheint mir kompliziert.
Meine Variante ist schneller und halte ich für deutlich einfacher.

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