Kugel zum Tasten einer periodischen Oberfläche

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27.04.2016, 16:12	Henrik90	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugel zum Tasten einer periodischen Oberfläche Meine Frage: Hallo liebe Gemeinde, ich würde gerne folgendes geometrisches Problem lösen, bin dabei aber etwas überfragt. Ich habe eine Kugel zum Abtasten einer ebenen Oberfläche die aus Kugeln besteht (periodisch). Die minimal Meßbare Höhendifferenz ist 30% vom Radius meiner zu Messkugel. Der Radius der Kugel zum tasten ist bekannt. Die Frage ist, wie klein darf der Radius der Oberflächenkugeln minimal sein, sodass ich sie noch messen kann? Meine Ideen: Ich habe ne Sikzze angefertigt, in der einige längen in Beziehung gesetzt sind. Ich schaffe es aber nicht, den minimalen Radius der Kugeln zu berechnen, aus der die Oberfläche besteht. Ich habe aber immer nur eine Größe und 2 Unbekannten in denGleichungen.
27.04.2016, 16:40	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugel zum Tasten einer periodischen Oberfläche eine unsichtbare Skizze hilft nicht wirklich
28.04.2016, 17:11	Henrik90	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ne Skizze. Die obere kleine Kugel ist zwischen die beiden größeren gerollt. Daher zwei von den kleinen Kugeln. Es handelt sich dabei um die Messkugel. Die beiden großen Kugeln sind ein Ausschnit der Kugeloberfläche. Müsste schon alles aus der Frage herausgehen. [attach]41482[/attach] Habe leider noch keine Fortschritte gemacht. Dachte ich könnte über das Kreissegment an die Sache heran. Geht aber leider nicht. Da 0,3 x r_w sich nit mit r_w am Kreisbogen schneidet. Ich habe das Gefühl, dass es keine Gleichung gibt, bei der ich 2 von 3 Unbekannten habe.
28.04.2016, 18:16	Henrik90	Auf diesen Beitrag antworten »
folgende Beziehungen sind mir klar. Aus dem Sinussatz folgt: 1) sin(alpha) / sin(2 * beta) = 0,5 * (1 + r_w / r_x) 2) alpha = gamma ==> gamma entspricht dem Winkel unten rechts (alpha) Aus dem Kosinussatz folgt: 3) (r_x)² / (r_x - r_w)² = 0,5 * (1 - cos(2 * beta)) = sin²(beta) Mit dem Radius r_w und der Höhe des Kreissegmentes 30% von r_w komme ich auch auf einige Beziehungen. Aber kein so gewonnenes Ergebnis steht in Behiehung mit r_x.
28.04.2016, 18:34	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
(für diese Kugelkonfiguration der Oberfläche)scheint mir der gzte Pythagoras zum Ziel zu führen
28.04.2016, 18:57	Henrik90	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier noch einige Beziehungen. [attach]41484[/attach] Leider kommt immer nur eine variable mehr dazu. r_x ist ja nicht gegeben nur r_w und die minimale nötige Messhöhe von 0,3 * r_w.
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28.04.2016, 19:03	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn wie oben gezeichnet die (Meß)Kugeln "in Reih und Glied" liegen, - wie oben gemalt - gilt mit Pythagoras $\begin{eqnarray} (r\cdot\sqrt{2})^2+(r+(1-p)\cdot R)^2=(r+R)^2 \end{eqnarray}$ r Radius der Oberflächenkugeln R Radius der Meßkugel p Prozent Eintauchtiefe daraus kannst du r bestimmen
28.04.2016, 19:11	Henrik90	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt ja nur eine Messkugel und die Oberflächenkugeln liegen in "Reih und Glied". Gilt deine Formel dann immer noch? Wie bist du darauf gekommen? Da ist ja nur noch eine Unbekannte im Spiel ^^
28.04.2016, 19:28	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin von der obigen Geometrie ausgegangen, d.h. der "tiefste" Punkt liegt in der Mitte von 4 Kugeln, es gibt allerdings noch andere Geometrien, wie die Kugeln angeordnet sein können. wenn du allerdings sozusagen immer senkrecht uber dem Kugelmittepunkt bleibst, ändert sich auch nur der Abstandsfaktor der Mittelpunkte, Pythagoras geht immer. vielleicht beschreibst du ja einmal genauer, welche Größenordnungen und welche Testanordnung du hast
28.04.2016, 20:19	Henrik90	Auf diesen Beitrag antworten »
Es handelt sich um eine Aufgabe aus dem Buch von Haken/Wolf - Atom- und Molekülphysik. [attach]41485[/attach] Ich sehe gerade, das die Eintauchtiefe 15% vom Radius der Messkugel entspricht nicht 30%, wie ich angenommen habe. Das Ergebnis sagt mir, wenn r_w = 0,16nm ist, dass sich r_x auf 0,35nm beläuft. Ich habe die Formel jetzt wie folgt verwendet. $\begin{eqnarray} {r_{x}}^{2} + (r_{x} + (1-p)\cdot r_{w})^{n} = (r_{x}+r_{w})^{2} \end{eqnarray}$ r_w ist Wolfram r_x ist exotisches Element p ist die Eintauchtiefe Der Faktor $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ entfällt hier, da die Kugeln ja dicht gepackt sind. Allerdings komme ich nicht auf 0,35nm sondern auf 0,11nm.
28.04.2016, 22:23	Henrik90	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe es mal geometrisch konstruiert. Sieht eigentlich ganz gut aus. [attach]41486[/attach] Da ich nur 30% Höhendifferenz benötige, also weniger als die Hälfte vom Radius der Messkugel, kann ich auch Objekte messen, die kleiner sind als die Kugel selber. Soweit plausibel. Dein Ansatz hat mir beim Verständnis echt geholfen. Allerdings stimmt die Lösung nicht mit dem Buch überein. Habe mal aus Spaß nicht 15% sonder 85% in die Formel eingegeben. Da habe ich dann meine 35nm. Logisch ist das jetzt aber für mich nicht mehr. Hast du vielleicht noch ne Idee für mich?
29.04.2016, 10:28	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist mir auch auigefallen, ich würde sagen, da hat jemand ( ) p und (1 - p ) durcheinandergebracht, aber nicht wir übrigens erhalte ich mit obigem Modell als korrekten Wert r = 0.27 (noch einmal und Irrtum vorbehalten )
29.04.2016, 11:52	Henrik90	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh stimmt. Meine Zeichnung ist nicht korrekt. Man sollte das auch nicht so spät noch machen. ^^ Das wird es wohl sein. Eine Frage habe ich jetzt noch. Mir ist jetzt klar wie du an die Aufgabe herangegangen bist. Mit der Verinfachung das der Radius der Oberflächenkugel bei 85% vom Radius der Messkugel eingezeichnet wird. Jetzt komme ich mit deiner Hilfe auf folgenden Zusammenhang: $\begin{eqnarray} {r_{x}}^2+(r_{x}+(1-p)\cdot r_{w})^2=(r_{x}+r_{w})^2 \end{eqnarray}$ daraus folgt jetzt: $\begin{eqnarray} {r_x}^2+(r_{x}+(0.85)\cdot 0.16)^2=(r_{x}+0.16)^2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} {r_x}^2-0.048\cdot r_{x}-0.007104 = 0 \end{eqnarray}$ und damit dann: $\begin{eqnarray} r_{x1}=0.11 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r_{x2}=-0.06 \end{eqnarray}$ Hier scheint mir nur die Lösung > 0 relevant zu sein. Wie kommst du jetz auf $\begin{eqnarray} r_{x}=0.27 \end{eqnarray}$ ?
29.04.2016, 12:04	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
deinen (und anfangs auch meinen ) Denkfehler kannst du eventuell schon dem Bilderl entnehmen, wenn du den Term im Rechteck betrachtest, sonst nachfragen (ich weiß, ich bin kindisch mit meinen "Manderln", aber in meinem Alter, was soll´s)
29.04.2016, 12:26	Henrik90	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry ich kann dir nicht folgen. Du hast ja p als 0,3 (30 %) angenommen. In deiner Skizze ist t aber wesentlich größer als 30 % von $\begin{eqnarray} r_w \end{eqnarray}$ . Ich habe mal mit $\begin{eqnarray} p=0.3 \end{eqnarray}$ gerechnet und erhalte dann aber $\begin{eqnarray} r_x = 30.13 \end{eqnarray}$ Ich finde das voll ok wie du das machst. Du hast mir beim verständnis echt geholfen. Nur unsere Ergebnise passen noch nicht so ganz.
29.04.2016, 12:43	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
da steht doch:"..... $\begin{eqnarray} \Delta h= 30% \end{eqnarray}$ des Wolfram DURCHMESSERS.." und 30% des Durchmessers sind NICHT 15% des RADIUS sondern 60% des Radius, glaube ich zumindest daher steht im Rechteck auch $\begin{eqnarray} \frac{t}{\color{red}2\color{black}R} \end{eqnarray}$ 30% * 2m = 0.6m ?% von 1m oder doch nicht (das waren viele Manderl, jetzt höre ich eh auf damit)

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