Determinante berechnen

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KingGarri Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante berechnen
Meine Frage:
Sei ein Körper, und .

Berechnen Sie



Meine Ideen:
Ehrlich gesagt, weiß ich nicht, wie ich rangehen soll. Wir haben also eine (nxn)-Matrix mit n>3, und sie ist gefüllt mit immer aufeinanderfolgenden Quadratzahlen in jeder Zeile. Aber wie berechnet man daraus die Determinante? Also ich kenne schon Laplace-Entwicklungssatz, Gauß-Verfahren und sowas, aber das scheint alles nicht so praktisch zu sein... Gibt es vielleicht irgendeinen Trick?

Wäre um ein paar Tipps froh smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Addiere das Negative der vorletzten Spalte zur letzten, das Negative der drittletzten Spalte zur vorletzten und das Negative der viertletzten Spalte zur drittletzten. Addiere dann wieder das Negative der vorletzten Spalte zur letzten und das Negative der drittletzten Spalte zur vorletzten.
Bei diesen Operationen ändert sich die Determinante nicht. Und jetzt kann man die Determinante ablesen.

Fürs Rechnen genügt es, die erste Zeile zu betrachten. Denn zur jeweils nächsten Zeile ändert sich ja nur der Index der Variablen. Ebenso kann man sich auf die vier letzten Spalten beschränken. Die Spalten davor sind ohne Einfluß auf das Ergebnis.
KingGarri Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal für den Tipp. Ich habe die Rechnungen jetzt durchgeführt, wenn ich mich nicht vertan habe, steht in der letzten und vorletzten Spalte jeweils durchgängig 2.

D.h. die Determinante ist 0, da die Determinante ja alternierend ist, und so in zwei Spalten identische Argumente stehen?

Bitte um kurze Bestätigung/Rückmeldung.

Und noch etwas: Das ist ja eine sehr clevere Rechnung, aber die berühmte Frage ist, wie kommt man darauf? smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So ist's. Übrigens: Wozu braucht man eigentlich ? Hast du dir einmal überlegt, wie das mit ist?

Und wie man darauf kommt ... eine Mischung aus Probieren und Kombinieren. Mir war gleich klar, daß beim Subtrahieren von Spalten die ganzen Quadrate wegfallen müssen. Und dann habe ich einfach einmal losgelegt. Der Rest hat sich dann von selbst ergeben. Im Hintergrund habe ich natürlich auch noch die Kenntnisse über arithmetische Folgen höherer Ordnung, insbesondere das Verhalten bei der Differenzenbildung, vor Augen gehabt.
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