Gebrochenrationale Funktion

01.05.2016, 02:56

HanSolo94

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Gebrochenrationale Funktion

Es handelt sich um folgende Funktion

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \frac{x²+x-1}{x-1}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Ich soll die die Gleichung der Asymptote, die Polstelle und die NS der Funktion bestimmen

die Polstelle ist ja relativ einfach -> = 1

die Gleichung der Asymptote:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> <br /> \frac{x²+x-1}{x-1} = \frac{x²}{x-1} + \frac{x}{x-1} + \frac{-1}{x-1} = x -1 = y = x -1<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

das Ergebnis soll aber ya = x + 2 sein. Wo ist mein Fehler? Beim ersten Bruch kürze ich ein x weg, dass noch x/-1 da steht, beim zweiten beide x, somit steht noch -1 da und beim letzten kürze ich -1 weg und somit bleibt ein x. bei x/-1 geht ja bei unendlich gegen null und fällt weg...

wo habe ich mein fehler gemacht?

Für die NS muss man ja dne Zähler 0 setzten : x² + x -1 und somit x1 = -2 und x2 = 1... laut Ergebnis kommt da auch was anderes raus.. :-/

hoffe ihr könnt Licht ins dunkeln bringen!

01.05.2016, 08:58

Gast0105

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RE: Gebrochen Rationale Funktion
Die Polynomdivision liefert:

$\begin{eqnarray*} = x+2-1/(x-1) \end{eqnarray*}$

01.05.2016, 10:19

Helferlein

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@gast:
Ein paar erklärende Worte wären hilfreich. Wie soll HanSolo sonst den Fehler in deiner Lösung nachvollziehen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

@HansSolo:
Du hast etwas sehr merkwürdig gekürzt. Den Spruch mit dem Kürzen aus Summen kennst Du sicherlich.
Zudem hast Du nur den Grenzwert deiner drei Summanden betrachtet, was aber nichts über ihr asymptotisches Verhalten aussagt. Richtig wäre hier ein Vorgehen mit Polynomdivision, wie von Gast schon vorgeschlagen. Aber auch mit einfachen Kürzen kommst Du weiter, sofern Du es richtig durchführst.

Beachte hierzu $\begin{eqnarray*} \frac {x^2+x-1}{x-1} = \frac{x^2-1+x-1+1}{x-1} \end{eqnarray*}$

01.05.2016, 10:46

Dopap

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man könnte doch deine "Nullstellen" einer Probe unterziehen.
Oder bist du dir zu Schade dazu ?

Nebenbei: eine gefundene Nullstelle des Zählers darf nicht zugleich Nullstelle des Nenners sein. Lehrer

Lehrer

Aber so ist das eben mit solchen "Regeln" unglücklich

unglücklich

02.05.2016, 05:29

HanSolo94

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Zitat:

Original von Helferlein
@gast:
Ein paar erklärende Worte wären hilfreich. Wie soll HanSolo sonst den Fehler in deiner Lösung nachvollziehen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

@HansSolo:
Du hast etwas sehr merkwürdig gekürzt. Den Spruch mit dem Kürzen aus Summen kennst Du sicherlich.
Zudem hast Du nur den Grenzwert deiner drei Summanden betrachtet, was aber nichts über ihr asymptotisches Verhalten aussagt. Richtig wäre hier ein Vorgehen mit Polynomdivision, wie von Gast schon vorgeschlagen. Aber auch mit einfachen Kürzen kommst Du weiter, sofern Du es richtig durchführst.

Beachte hierzu $\begin{eqnarray*} \frac {x^2+x-1}{x-1} = \frac{x^2-1+x-1+1}{x-1} \end{eqnarray*}$

vielen Dank für die ausführliche antwort! Freude

Freude

ich weiß auch nicht was mich geritten hat aus den Summen zu kürzen.

Komme mit der Polynomdivision auch auf die x +2 + (1/x-1) wobei das letzte bei unendlich wegfällt und somit nicht relevant ist.

Allerdings hätte ich jetzt nochmal eine Frage, du schriebst dass man über Kürzen die Aufgabe auch lösen hätte können... könntest du mir die Gesetzte nennen die ich dafür benötige? Würde die dann selbst nachschlagen und durch probieren... Das mit den Brüchen ist ziemlich lange her und ich hab damals nicht wirklich aufgepasst.. -.-

meine Nullstellen muss ich auch verbesseren, sind 0,61 und -1,61. Hab Anscheinend bei der pq Formel aus einer 1 eine 2 gemacht... Hammer

Hammer

02.05.2016, 23:54

Helferlein

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Du müsstest nur dem Hinweis von oben folgen und den Bruch aufteilen.

$\begin{eqnarray*} \frac {x^2+x-1}{x-1} = \frac{x^2-1+x-1+1}{x-1} = \frac{x^2-1}{x-1} + \frac{x-1}{x-1} +\frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$
Und schon kannst Du x-1 in den ersten beiden Brüchen kürzen. (Beachte beim ersten die Binomische Formel)

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03.05.2016, 02:06

Dopap

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das funktioniert bei linearen Nennern noch so halbwegs. Bei höheren Polynomen ist die notwendige Denkleistung zu hoch, da macht man gleich Polynomdivision, die als Algorithmus klar geregelt ist.

05.05.2016, 04:09

HanSolo94

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Zitat:

Original von Helferlein
Du müsstest nur dem Hinweis von oben folgen und den Bruch aufteilen.

$\begin{eqnarray*} \frac {x^2+x-1}{x-1} = \frac{x^2-1+x-1+1}{x-1} = \frac{x^2-1}{x-1} + \frac{x-1}{x-1} +\frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$
Und schon kannst Du x-1 in den ersten beiden Brüchen kürzen. (Beachte beim ersten die Binomische Formel)

Danke, habs noch zwei weitere gerechnet und die waren richtig. Freude

Freude

Aber bei einer blieb ich noch hängen und zwar an folgender:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x(x+2)(x-3)}{(x-1)²(x-3)} \end{eqnarray*}$

Definitionsbereich: alle reele Zahlen bis auf +/-1 und 3

Polstellen: +/-1 und 3

Nullstellen: 0, -2 und 3

bis hier müsste es ja stimmen, oder? Allerdings soll ich jetzt die noch die Asymptote berechnen.

Wenn ich Zähler und Nenner jeweils ausmultipliziere und dann die Polynomdivison mache kriege ich ziemlich "große" Terme raus... daher meine Frage, gibts hierzu einen Tipp wie mann es vereinfachen kann? :-/

05.05.2016, 07:28

Helferlein

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Nein, da ist jeweils ein Fehler in den Ergenissen.
Für die Asymptote benötigst Du nur dann Polynomdivision, wenn der grad des Zählers größer als der des Nenners ist.

05.05.2016, 16:11

Ben93

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Zitat:

Original von Helferlein
Nein, da ist jeweils ein Fehler in den Ergenissen.

$\begin{eqnarray*} \frac{2x(x+2)(x-3)}{(x-1)²(x-3)} \end{eqnarray*}$

Definitionsbereich: alle reele Zahlen bis auf +/-1 und 3 (der Definitionsbereich ergibt sich ja aus den Polstellen?) :-/

Polstellen: +/-1 und 3 ( Sind doch die Zahlenwerte für die der Nenner "0" wird? +/-1 für wird doch (x-1)² "0" und für 3 (x-3) "0"... oder habe ich etwas übersehen

Nullstellen: 0, -2 und 3 (Sind die Nullstellen des Zählers. (x-3) = 3 und bei 2x(x+2) ist es für 2x "0" und für (x+2) "-2"

Zitat:

Original von Helferlein

Für die Asymptote benötigst Du nur dann Polynomdivision, wenn der grad des Zählers größer als der des Nenners ist.

Stimmt, damit handelt sich es um eine waagerechte Asymptote.

Dann muiltipliziere ich die beiden Terme 2x(x+2) und (x-1)² aus und erhalte 2x²+4x und x² - 2x +1... wenn ich es noch richtig weiß, dann muss ich nur die beiden "größten" Potenzen anschauen 2/1 = 2... sprich die waagerechte Asymptote schneidet die y-achse bei 2. Kann man das so sagen, oder hab ich mich total verrannt?

05.05.2016, 16:48

Helferlein

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a) Warum sollte die Funktion bei x=-1 nicht definiert sein?
b) Eine Nullstelle des Nenners ist eine Definitionslücke, aber nicht zwangsläufig eine Polstelle.
c) Nicht alle Nullstellen des Zählers sind Nullstellen der Funktion. Nicht umsonst gehört zu einer Funktion mehr als nur die Funktionsgleichung.

05.05.2016, 16:57

Dopap

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stimmt soweit.

Aber wichtig: die maximale Definitionsmenge ist $\begin{eqnarray*} \mathbb D=\mathbb R\backslash \{1, 3\} \end{eqnarray*}$ (, nicht +- 1 )

die Polstelle ist P=1

die Nullstellen sind N={0;-2}

----------------------------------------

EDIT: siehe Helferlein.

08.05.2016, 03:17

Ben93

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So dann mische ich mich nochmal ein :P

das der Definitionsbereich ausgeschlossen alle Reelle Zahlen von 1 und 3 sind hab ich so auch verstanden.

Das eine Polstelle 1 ist auch, aber warum ist die 3 keine Polstelle? Dafür würde doch der 2. Term (x-3) 0 werden?

Das die NS 0 und 2 sind ist mir auch bewusst aber warum auch wieder nicht die drei? Gibt's da ein Zusammenhang wenn die in einem Term jeweils im Bruch und Nenner die Nullstelle bzw. Polstelle die selbe Zahl ist, dass die raus fliegt?

08.05.2016, 05:39

Dopap

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Ein Term der sich kürzen lässt ( rausfliegt verwirrt

verwirrt

) sorgt weder für Nullstellen noch für Polstellen sofern er überhaupt Null werden kann.*

$\begin{eqnarray*} \text { Beispiel : kürzbarer Term }= x^2 +5 \quad \text{ist nie Null *} \end{eqnarray*}$

* in der Grundmenge der reellen Zahlen

13.05.2016, 00:13

Ben93

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Zitat:

Original von Dopap
Ein Term der sich kürzen lässt ( rausfliegt verwirrt

verwirrt

) sorgt weder für Nullstellen noch für Polstellen sofern er überhaupt Null werden kann.*

$\begin{eqnarray*} \text { Beispiel : kürzbarer Term }= x^2 +5 \quad \text{ist nie Null *} \end{eqnarray*}$

* in der Grundmenge der reellen Zahlen

das wir mir unbekannt! Hab ich mir jetzt notiert und abgeheftet danke!

Jetzt nochmal anhand eines Beispiels ob ich es wirklich verstanden habe.

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)(x+3)(x-2) }{ ( x+2)²(x-1) (x-2)} \end{eqnarray*}$

Nullstellen ist -1 und -3

Polstellen ist die 1 und -2

So nun hat der Nenner die größere Potenz daher ist keine Polynomdivision sondern kann "ablesen", richtig? sprich die asymptote : y = - 2 und dort ist diese waagerecht

13.05.2016, 00:44

mYthos

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Zitat:

Original von Ben93
...
Jetzt nochmal anhand eines Beispiels ob ich es wirklich verstanden habe.

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)(x+3)(x-2) }{ ( x+2)²(x-1) (x-2)} \end{eqnarray*}$

Nullstellen ist -1 und -3

Polstellen ist die 1 und -2

So nun hat der Nenner die größere Potenz daher ist keine Polynomdivision sondern kann "ablesen", richtig? sprich die asymptote : y = - 2 und dort ist diese waagerecht

Nein, gerade verkehrt: Die Asymptote lautet x = -2 und sie ist senkrecht. Wie übrigens auch x = 1
Es gibt aber hier auch eine waagrechte Asymptote. Welche?

Und noch eine Frage: Was passiert bei x = 2?

mY+

14.05.2016, 03:06

Ben93

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So ich hab jetzt noch mal ein paar Videos angeschaut und festgestellt ich weiß doch noch nicht alles..

Wie ich bereits gesagt habe die Nullstellen sind: -1 und 3; die Polstellen 1 und -2

Desweiteren kann man sagen, da der Nenner größe ist wie Zähler das es eine behebare Definitionslücke bei 2 gibt. Wenn man sie raus kürzt, wurde diese behoben, richtig?

Allerdings bin ich gerade etwas verwirrt, warum x = -2 und nicht etwa y = - 2 ... bzw ich meinte das in der geraden schreibweise y = x also y = - 2 oder schreibt man dies nicht so.

Allerdings weiß ich wirklich nicht warum bei x = 1 eine Asymptote ist. Es ist eine Polstelle weil im Nenner dort der Term (x-1) "0" wird. Allerdings warum eine Asymptote?

14.05.2016, 04:57

Dopap

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wenn die Asymptote eine Funktion ist derart, dass der Betrag des Abstandes zur Funktion im Limes nach unendlich Null ist, dann

ist x=2 keine Funktion, eine senkrechte Gerade und keine Asymptote.

Nur hat sich eben eingebürgert, auch bei diesen Senkrechten auf den Polstellen von senkrechten Asymptoten zu sprechen.

Wichtig ist aber, dass "senkrecht" immer mitnotiert wird.

Kurzum: spiegelt man alles an der 1. Winkelhalbierenden, dann wird die senkrechte "Asymptote" zu einer waagrechten Asymptote zur Umkehrfunktion.

14.05.2016, 20:41

mYthos

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Zitat:

.. ist x=2 keine Funktion, eine senkrechte Gerade und keine Asymptote ..

Das sehe ich etwas anders:

Obgleich die Gleichung x = 2 keine Funktion beschreibt, stellt sie in der analytischen Geometrie dennoch eine Gerade dar. Und Geraden können eben auch Asymptoten sein.
Auch in der Literatur findet sich nach kurzer Recherche nichts Gegenteiliges.
Weshalb eine zur x-Achse senkrechte Gerade keine Asymptote sein kann, erschliesst sich mir daher nicht.
Nur deswegen, weil die Gleichung x=2 zufällig keine Funktion darstellt?

Übrigens kann diese zur x-Achse senkrechte Gerade in Parameterfunktionen umgeschrieben werden:

x(t) = 2
y(t) = t

Beide Parametergleichungen sind auch Funktionen und stellen in ihrer Ortslinie eine Gerade dar.

@Ben93

Zitat:

Original von Ben93
... es eine behebare Definitionslücke bei 2 gibt. Wenn man sie raus kürzt, wurde diese behoben, richtig?
...

Ja.

Zitat:

Original von Ben93
...
Allerdings bin ich gerade etwas verwirrt, warum x = -2 und nicht etwa y = - 2 ... bzw ich meinte das in der geraden schreibweise y = x also y = - 2 oder schreibt man dies nicht so.
...

x = 1 und x = -2 stellen zur y-Achse parallele Geraden dar! Die Problematik, dass diese einfachen Gleichungen keine Funktion darstellen, kannst du in diesem Kontext beiseite lassen.
Siehe oben.
y = 1 oder y = -2 sind zur x-Achse parallele (!) Geraden, also waagrechte!
Solche bezeichnen niemals Polstellen, obwohl sie natürlich - bei bestimmten gebr. rat. Polynomen - auch waagrechte Asymptoten sein können.

Zitat:

Original von Ben93
Allerdings weiß ich wirklich nicht warum bei x = 1 eine Asymptote ist. Es ist eine Polstelle weil im Nenner dort der Term (x-1) "0" wird. Allerdings warum eine Asymptote?

Es ist genau so eine Asymptote wie bei x = -2, was ist daran anders?
Anmerkung:
Allerdings gibt es Polstellen MIT oder OHNE Vorzeichenwechsel. Wegen des Quadrates beim Faktor (x+2) im Nenner findet bei x = -2 KEIN Vorzeichenwechsel statt.

mY+

15.05.2016, 04:10

Ben93

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Erstmal vielen Dank für die ausführliche Erklärung.

Was ich wieder neu mitnehme ist das wenn die Polstelle ^2 hat keinen VZW wechsel hat und die richtige beschreibung für x und y Achse.

wegen der polstelle x = 1. Ist jede Polstelle auch eine Asymptote? Ich bin bisher davon ausgegangen, dass nur die größte Polstelle eine Asymptote sei Forum Kloppe

Forum Kloppe

16.05.2016, 00:22

Helferlein

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Wie Mythos schon sagte versteht man in der Schulathematik unter einer Asymptote eine Gerade, an die sich die Funktion anschmiegt. Dies ist bei jeder Polstelle erfüllt.

16.05.2016, 00:47

Dopap

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... aber leider konnten Beide nicht zusammenkommen... traurig

traurig

19.05.2016, 00:20

Ben93

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so ich bins nochmal. Ich bin nochmal die Beiträge durch gegangen und es hat sich doch noch eine Frage ergeben und zwar:

die Berechnung der Asymptote wenn der Nenner die höhere Potenz hat, man vergleicht nur die Potenzen, richtig?

Aber ich steh gerade richtig auf dem Holzweg und zwar:

bei (x+2)²

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)}{(x+2)²} \end{eqnarray*}$

Potenz von 1 und 2 = 1/2 = 0,5 und nicht 2?

bei (x-1)

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)}{(x-1) } \end{eqnarray*}$

1/1 = 1

an Hand eines anderen Beispiels:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)²(x+3)(x-2)}{(x+2)²} \end{eqnarray*}$

Nullstelle: -1 (ohne VZW), -3 und 2
Polstelle : -2 (ohne VZW)

eine behebbare Definitionslücke gibt es nicht.

Da die Potenzen gleich sind ; y = 1

die Definitionsmenge: $\begin{eqnarray*} D= \mathbb R \end{eqnarray*}$ /{-2}

19.05.2016, 05:05

Dopap

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Zitat:

Original von Ben93

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)²(x+3)(x-2)}{(x+2)²} \end{eqnarray*}$

Nullstelle: -1 (ohne VZW), -3 und 2
Polstelle : -2 (ohne VZW)

eine behebbare Definitionslücke gibt es nicht.

Da die Potenzen gleich sind ; y = 1
die Definitionsmenge: $\begin{eqnarray*} D= \mathbb R \end{eqnarray*}$ /{-2}

Schreibe die Definitionsmenge zuerst. $\begin{eqnarray*} \mathbb D = \mathbb R \backslash \{-2\} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[l]\mathbb D = \mathbb R \backslash \{-2\}[/l]

Schreibe $\begin{eqnarray*} f(x):= \frac{(x+1)²(x+3)(x-2)}{(x+2)²} \end{eqnarray*}$

man spricht vom Grad ( höchste Potenz von x ) eines Polynoms: Zählergrad = 4 , Nennergrad = 2

---> eine quadratische Asymptote ist y:=x^2 -x-3 (Polynomdivision !)
---> die senkrechte Asymptote ist x=-2

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