Skalarprodukt - Matrix - Beweis

01.05.2016, 12:42	Xyarvius	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt - Matrix - Beweis Meine Frage: Folgende Aufgabenstellung ist gegeben: Sei $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Beweisen sie dass durch $\begin{eqnarray} <x,y>_A =x^TAy \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ein Skalarprodukt definiert ist. Bildet $\begin{eqnarray} <x,y>_B =x^TBy \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auch ein Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Um zu zeigen, dass hierbei ein Skalarprodukt definiert ist muss ich ja die vier Eigenschaften eines Skalarproduktes nachweisen, die da wären: 1) $\begin{eqnarray} <x,x> \geq 0 \end{eqnarray}$ (Nicht-Negativität) 2) $\begin{eqnarray} <x,x> = 0 \Rightarrow x=0 \end{eqnarray}$ (Definitheit) 3) $\begin{eqnarray} <x,y> = <y,x> \end{eqnarray}$ (Symmetrie) 4) $\begin{eqnarray} <\alpha u + \beta v,y> = \alpha <u,y> + \beta <v,y> \end{eqnarray}$ (Linearität im ersten Augument) Um im ersten Teil zu zeigen dass diese Eigenschaften gelten ist es wohl hilfreich die Schreibweise umzuwandeln: $\begin{eqnarray} <x,y>_A =x^TAy =<x,Ay> \end{eqnarray}$ . Ist das korrekt? Dies würde bedeuten dass folgendes zu zeigen ist: 1) $\begin{eqnarray} <x,Ax> \geq 0 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} <x,Ax> = 0 \Rightarrow x=0 \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} <x,Ay> = <y,Ax> \end{eqnarray}$ 4) $\begin{eqnarray} <\alpha u + \beta v,Ay> = \alpha <u,Ay> + \beta <v,Ay> \end{eqnarray}$ Stimmt das so? Nun habe ich aufgeschnappt, dass wenn die Matrix symmetrisch ist (was hier ja der Fall ist, da $\begin{eqnarray} A=A^T \end{eqnarray}$ ), man nur Nicht-Negativität und Definitheit nachweisen muss. Stimmt dies und falls ja, wie ist das denn zu begründen? Bei dem zweiten Teil muss ich wohl zeigen, dass eine der vier Eigenschaften nicht zutrifft, ich tippe hierbei auf die Nicht-Negativität.
01.05.2016, 17:47	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt - Matrix - Beweis Zur Symmetrie: Man muss schon (einmal) nachweisen, dass symmetrische Matrizen symmetrische Bilinarformen erzeugen. Das ist aber leicht. Beachte, dass $\begin{eqnarray} x^TAy \end{eqnarray}$ ein Skalar und damit gleich seiner Transponierten ist.

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