Dimension von span

02.05.2016, 15:44	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension von span Meine Frage: Gegeben sind drei Vektoren $\begin{eqnarray} v1=\begin{pmatrix} 1+i \\ 2i \\ 0 \end{pmatrix}, v2=\begin{pmatrix} 2 \\ 3+3i \\ i \end{pmatrix}, v3=\begin{pmatrix} 0 \\ 1-i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man soll die Dimension von $\begin{eqnarray} U=span\left\{v_{1},v_{2},v_{3}\right\} \subseteq \mathbb{C}^{3} \end{eqnarray}$ bestimmen. Hinweis: $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^{3} \end{eqnarray}$ einmal als Vektorraum über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und einmal als Vektorraum über $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ betrachten. Meine Ideen: Um die Dimension von U zu bekommen, brauche ich doch die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren. Deshalb habe ich jetzt einfach einmal die dazu gehörige Matrix aufgestellt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1+i & 2i & 0 \\ 2 & 3+3i & i \\ 0 & 1-i & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
02.05.2016, 19:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt machst Du zwecks Rangbestimmung einmal Gauß mit Zeilenoperationen mit reellen Zahlen und einmal Gauß mit Zeilenoperationen mit komplexen Zahlen.
02.05.2016, 19:30	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension von span In der Matrix sind aber ja komplexe Zahlen vorhanden. Wie kann ich da Gauß mit reellen Zahlen durchführen?
02.05.2016, 19:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Zeilenoperation mit reellen Zahlen ist Addition des a-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile mit reellem a. Eine Zeilenoperation mit komplexen Zahlen ist Addition des z-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile mit komplexem z.
02.05.2016, 19:53	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension von span Für den komplexen Teil bekomme ich das hier heraus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -i \\ 0 & 1 & \frac{1}{2}+\frac{i}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hier wäre der Rang der Matrix 2. Kannst du mir bitte nochmal an einem praktischen Beispiel erklären, wie das mit den reellen Zahlen geht?
02.05.2016, 20:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb C^3 \end{eqnarray}$ hat als komplexer Vektorraum die Dimension 3 und als reeller Vektorraum die Dimension 6. Wenn Du richtig gerechnet hast, hat U die komplexe Dimension 2. Ich vermute, die reelle Dimension von U ist 3. (Zeilen 1 und 2 reell l.u. wegen Eintrag in Spalte 1 / Zeilen 1 und 3 offensichtlich l.u., da Eintrag in Spalte 3 : 0 und 1 / Zeilen 2 und 3 auch reell l.u. wegen Eintrag in Spalte 3 : i und 1).
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02.05.2016, 20:40	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension von span Nur unter Berücksichtigung des Realteils ergibt sich folgende Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also hat U über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ betrachtet 3 Dimensionen und über $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ betrachet 2.
03.05.2016, 11:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht ist das ein sinnvolles Argument, ich bin nicht ganz sicher, aber ich glaube es stimmt. Sprechweise: Ein Vektorraum hat eine Dimension, das ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren. In diesem Beispiel hat U die Dimension 2 (komplex) bzw. 3 (reell). Ein Vektorraum hat nicht 2 oder 3 Dimensionen.

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