Vektoren im Vektorraum

02.05.2016, 18:59	ThomasBerlin	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren im Vektorraum Meine Frage: Anbei die Frage [attach]41541[/attach] Meine Ideen: Ich nehme drei linear unabh. Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann bilde ich $\begin{eqnarray} z+y,y-z,x-z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Muss ich jetzt noch überprüfen, ob diese linear unabhängig sind?
02.05.2016, 22:25	ThomasBerlin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren im Vektorraum Ich glaube ich habe die richtige Idee. Wenn man sich das kartesische Koordinatensystem im $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ vorstellt hat man drei linear unabhängige Vektoren in den drei Einheitsvektoren, die auf den einzelnen Achsen liegen. Wenn ich nun über Vektoraddition $\begin{eqnarray} x+y,y-z,x-z \end{eqnarray}$ bilde, entstehen ja immer die Winkelhalbierenden zwischen den jeweiligen Achsen. Somit sind diese auch wieder linear unabhängig zueinander. Kann man das so begründen?
02.05.2016, 23:47	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren im Vektorraum Deine bisherigen Überlegungen taugen nur dazu, sich die Sachlage an einem Beispiel zu verdeutlichen. Das ist eine gute Herangehensweise, aber für einen Beweis zu wenig. Du musst den Beweis für alle möglichen x,y,z eines - nicht näher bestimmten - Vektorraumes V führen. Du kannst dich also bei der Beweisführung nur auf allgemeine Eigenschaften eines Vektorraumes stützen.

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