Minimalpolynome und kgV

03.05.2016, 09:55	Seims	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynome und kgV Hallo, wir haben folgende Aufgabe zu lösen: Zeige, dass das Minimalpolynom eines Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Minimalpolynome seiner Untervektorräume $\begin{eqnarray} V_1,V_2 \subseteq V, V=V_1+V_2 \end{eqnarray}$ ist. Wie muss ich vorgehen? Die Definition des Minimalpolynoms habe ich bereits aufgeschrieben. Aber wie komme ich von da aus zum kgV? Bin für jeden Hinweis dankbar. MfG Seims
03.05.2016, 11:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist das Minimalpolynom eines Vektorraums ? Ich kenne nur Minimalpolynome von linearen Abbildungen ( https://de.wikipedia.org/wiki/Minimalpolynom ) .
03.05.2016, 13:24	Seims	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Fehler. Ich wollte das ganze kurz halten. Hier die gesamte Aufgabenstellung: Es sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper, $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} V_1,V_2\subseteq V \end{eqnarray}$ seien Untervektorräume mit $\begin{eqnarray} V = V_1+V_2 \end{eqnarray}$ . Es sei $\begin{eqnarray} t \in \text{End}(V) \end{eqnarray}$ ein Endomorphismus von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und es gelte $\begin{eqnarray} t(V_i) \subset V_i, i=1,2 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} t_i := s\|_{V_i} \in \text{End}(V_i) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i=1,2 \end{eqnarray}$ . Man zeige, dass das Minimalpolynom $\begin{eqnarray} m_t \end{eqnarray}$ das kleinste gemeinsame Vielface der Minimalpolynome $\begin{eqnarray} m_{t_1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m_{t_2} \end{eqnarray}$ ist.
03.05.2016, 18:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann wegen $\begin{eqnarray} [m_{t_i}(t_i)](v_i)=0\;\forall v_i\in V_i \end{eqnarray}$ leicht zeigen, dass $\begin{eqnarray} [m_{t_1}(t_1)m_{t_2}(t_2)](v)=0\;\forall v\in V \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} m_t \end{eqnarray}$ jedenfalls ein gemeinsames Vielfaches der Minimalpolynome $\begin{eqnarray} m_{t_i},i=1,2 \end{eqnarray}$ . Das "kleinste" gemeinsame Vielfache passt prima zur Minimaleigenschaft des Minimalpolynoms . ( Ist das jetzt schon ein (minimaler) Beweis ? )

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