Oberflächenintegral - Volumen unter Funktion

03.05.2016, 22:32

cmplx96

Oberflächenintegral - Volumen unter Funktion

Hallo zusammen,

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter.

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1} \end{eqnarray*}$ .
Berechnen Sie das Oberflächenintegral (das Volumen unterhalb dieser Funktion) den Integrationsbereich $\begin{eqnarray*} B_{1} = {\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} |x > 0, y > 0, ||\vec{x}||_{\infty} < 1} \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \!\int_{a}^{b} \! \frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1} \, dy dx \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht, was ich mit den Grenzen machen soll.
Und was soll die Norm in dem Bereich?

Danke schonmal!

04.05.2016, 07:33

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Begriff "Oberflächenintegral" irritiert mich. Meiner Ansicht nach ist der für eine andere Situation vergeben. Aber sei's drum.
Das eigentliche Problem sind vermutlich nicht die Integrationsgrenzen, sondern die Vorstellung, was $\begin{align*} B_1 \end{align*}$ für ein Bereich ist. Für Elemente des $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \end{align*}$ nehme ich die Zeilenschreibweise.

$\begin{align*} B_1 = \left\{ \left. \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \right| \, x>0, \, y>0, \, \left\| (x,y) \right\|_{\infty} < 1 \right\} \end{align*}$

Die Bedingungen $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ und $\begin{align*} y>0 \end{align*}$ besagen, daß $\begin{align*} B_1 \end{align*}$ im I. Quadranten des Koordinatensystems ist. Somit bleibt

$\begin{align*} g(x,y) = \left\| (x,y) \right\|_{\infty} < 1 \end{align*}$

zu begutachten. Warum setzt du nicht einfach einmal Punkte mit positiven Koordinaten ein und schaust beispielhaft, ob sie die Bedingung erfüllen?

$\begin{align*} g \left( 1{,}3 ; 0{,}6 \right) = 1{,}3 \color{red} \geq 1 \color{black} \ \ \Rightarrow \ \ \left( 1{,}3 ; 0{,}6 \right) \not \in B_1 \end{align*}$

$\begin{align*} g \left( 0{,}2 ; 0{,}8 \right) = 0{,}8 \color{green} < 1 \color{black} \ \ \Rightarrow \ \ \left( 0{,}2 ; 0{,}8 \right) \in B_1 \end{align*}$

Welche Punkte sind es nun, die $\begin{align*} g(x,y)<1 \end{align*}$ erfüllen? $\begin{align*} B_1 \end{align*}$ ist eine sehr einfache und elementare geometrische Figur.

04.05.2016, 11:55

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{align*} \left\| (x,y) \right\|_{\infty} \end{align*}$

Ist mir unbekannt. Wie ist Das denn definiert ?

04.05.2016, 14:55

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
$\begin{align*} \left\| (x,y) \right\|_{\infty} \end{align*}$

Ist mir unbekannt. Wie ist Das denn definiert ?

Sollte es sich hierum handeln?

04.05.2016, 17:47

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ist es - die Maximumsnorm.

05.05.2016, 17:03

cmplx96

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort!
Zu der Norm:
handelt es sich dabei um ein Quadrat, welches sich im ersten Quadranten befindet?
Muss ich dann x und y von 0 bis 1 integrieren? oder muss ich Werte nehmen die größer 0 und kleiner 1 sind?

05.05.2016, 19:20

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es ist das Einheitsquadrat, auch wenn die Berandung nicht dazugehört.

Wenn die "Funktion" auf
$\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ definiert ist (?) dann offensichtlich stetig ist, dann spielt die Berandung keine Rolle.

05.05.2016, 19:45

cmplx96

Auf diesen Beitrag antworten »

also lautet der Ansatz $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \!\int_{0}^{1} \! \frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1} \, dy dx \end{eqnarray*}$ ?

05.05.2016, 20:14

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, was sonst ?

06.05.2016, 19:32

cmplx96

Auf diesen Beitrag antworten »

wollte nur nochmal sichergehen. vielen dank!

06.05.2016, 21:26

cmplx96

Auf diesen Beitrag antworten »

noch eine Frage:
wie ist es für den Bereich:
B = { $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} | x > 0, y > 0, ||\vec{x}||_{2} < 1 \end{eqnarray*}$ }
Da handelt es sich ja um einen Kreis aber wie setze ich dann die Grenzen?

Und bei B = { $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} | x > 0, y > 0, ||\vec{x}||_{1} < 1 \end{eqnarray*}$ }
handelt es sich doch wieder um ein Quadrat, jedoch ist es diesmal gedreht, wie beeinflusst das die Grenzen?

Danke!

07.05.2016, 00:11

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, dann muss man praktischerweise mit Polarkoordinaten integrieren.

mit den Umrechnungen $\begin{eqnarray*} x=r\cos(\varphi) , y=r\sin(\varphi), x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray*}$

und dem Flächenelement $\begin{eqnarray*} \dd A=r\,\dd r\, \dd \varphi \end{eqnarray*}$ gilt dann

$\begin{eqnarray*} J=\int_{r=0}^{r=1}\int_{\varphi=0}^{\varphi=\pi/4}\, f(r,\varphi)\, r\, \dd r \, \dd \varphi \end{eqnarray*}$

EDIT: phi = pi/2

07.05.2016, 16:26

cmplx96

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!
Kannst du mir noch erklären, wieso man $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ nicht bis 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ integriert?
Und integriert man den Bereich, der durch die Summennorm begrenzt wird auch mit Polarkoordinaten?

07.05.2016, 19:41

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

obere Grenze sollte $\begin{eqnarray*} \varphi=\pi /2 \end{eqnarray*}$ sein.

Durch die Einschränkung positiver Koordinaten bleibt noch als Bereich ein Viertelkreis übrig

$\begin{align*} J=\int_0^1\int_0^{\pi/2}\, \frac {r^3 \cos(\varphi)\sin(\varphi)}{r^2+1} \,\dd r\,\dd \varphi \end{align*}$
---------------------------------------------------------------
für die Summennorm sind wohl gerade Kanten maßgebend. Für Polarkoordinaten eher nicht geeignet.

08.05.2016, 13:16

cmplx96

Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, vielen dank!

Neue Frage »

Antworten »

Oberflächenintegral - Volumen unter Funktion

Verwandte Themen