Matrixgleichung

04.05.2016, 02:14	Maxim42	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixgleichung Meine Frage: K^2={(2x+1,x+3,?x+1),(?x?1,?2,x),(X+1,x+2,0)} ist eine3x3 Matrix Wie finde ich alle x für die die Gleichung mit K element C^3x3 gilt Meine Ideen:
04.05.2016, 11:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man die Matrix allgemein ansetzt, bekommt man 9 Gleichungen mit 10 Variablen. Damit muss sich doch was machen lassen ...
04.05.2016, 15:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich könnte mir vorstellen, dass es zunächst was bringt, eine Jordan-Zerlegung von $\begin{align} A^2 \end{align}$ zu bilden, z.B. $\begin{align} A^2 = \begin{pmatrix} 2\alpha+1 & \alpha+3 & -\alpha+1\\ -\alpha-1 & -2 & \alpha\\ \alpha+1 & \alpha+2 & 0\end{pmatrix} = T\cdot J \cdot T^{-1} \end{align}$ mit $\begin{align} J = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & \alpha & 1\\ 0 & 0 & \alpha\end{pmatrix} \end{align}$ und $\begin{align} T = \begin{pmatrix} 1 & 2(\alpha+1) & \alpha-1\\ -1 & -(\alpha+1) & 1\\ 1 & \alpha+1 & \alpha\end{pmatrix} \end{align}$ Mit Ansatz $\begin{align} A=TBT^{-1} \end{align}$ wäre dann "nur" noch $\begin{align} B^2=J \end{align}$ zu lösen. Ob das tatsächlich eine Erleichterung ist, weiß ich nicht - bei Quadratwurzeln von Matrizen ist mein Wissen ziemlich dünn. EDIT: Ok, du suchst ja gar nicht alle Lösungen, sondern nur, ob welche existieren. Dann scheint der Ansatz oben ja doch was zu bringen, zumindest für $\begin{align} \alpha\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1\} \end{align}$ sehe ich jetzt die Lösbarkeit, mittelbar auch für $\begin{align} \alpha=-1 \end{align}$ . Bei $\begin{align} \alpha=0 \end{align}$ sehe ich allerdings schwarz - ich vermute mal, da gibt es keine Lösung.
04.05.2016, 22:43	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Evtl. hilft im Fall $\begin{eqnarray} \alpha =0 \end{eqnarray}$ Cayley-Hamilton weiter: Wegen $\begin{eqnarray} \det(B)=0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 0=\chi_B(B)=B^3+\beta_2 B^2+\beta_1 B= B(B^2+\beta_1 I)+\beta_2 B^2 \end{eqnarray}$ . Schreibt man sich das explizit mit $\begin{eqnarray} B^2=J \end{eqnarray}$ auf, erlaubt es Rückschlüsse auf die Struktur von B. Wenn ich mich bei meinen Fallunterscheidungen nicht verlaufen habe, gibt es in der Tat keine Lösung.

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