Übergang zweier Straßen / Steckbriefaufgabe

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Olli1337 Auf diesen Beitrag antworten »
Übergang zweier Straßen / Steckbriefaufgabe
Meine Frage:
Hallo liebe Mathecommunity,

ich habe eine Aufgabe bekommen, aber das Thema haben wir noch so noch nie bearbeitet.

Ich würde mich freuen, wenn jemand mir etwas helfen bzw. Tipps geben könnte.

Eine gerade Straße durch den Punkt A ( -4 / 4 ) endet im Punkt B ( -2 / 2 ). Die Fortsetzung der Straße ist ein Teil der X-Achse, der rechts vom Punkt C ( 2 / 0 ) liegt.

a) Bestimmten Sie die Verbindungskurve von B und C, die durch den Punk D ( 0 / 0,25 ) verläuft und in welche die beiden geraden Straßenteile tangential einmünden.

b) Bestimmten Sie die Wendepunkte der von Ihnen ermittelten Funktion. Welche Schlüsse lassen sich aus der Lage der Wendepunkte für das Durchfahren der Verbindungskurve in den Anschlussstellen ziehen?

Wir haben erst gerade mit Steckbrief angefangen und Mathe ist nicht ganz meine Oberstärke.

Gruss aus Hamburg

Meine Ideen:
f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Ich denke es ist eine Funktion mit dem größten Expornenten 4.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Übergang zweier Straßen / Steckbriefaufgabe
Willkommen im Matheboard!

Hier dürfte ein kubischer Spline ein brauchbarer Ansatz sein. Ein einfaches Beispiel findest Du in unserem Workshop:

[WS] Spline-Interpolation - Beispiele

Wenn Du dazu Fragen hast, melde Dich.

Viele Grüße
Steffen
 
 
Olli1337 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Steffen,

ich habe 5 Gleichungen aufgestellt wo sich e schon ergibt. Habe nun die 4 restlichen Gleichungen mit dem Gausverfahren gelöst, aber ich habe das Gefühl das dort ein Fehler drin ist.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Warum 5 Gleichungen?
Die von Steffen gepostete Anleitung passt doch perfekt auf dein Beispiel.
Du setzt beide Punkte jeweils in die Gleichung und die Ableitung ein und erhältst 4 Gleichungen.
Wichtig: Bei der Ableitung als y-Wert die Steigung nehmen!
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann mich der Frage des Kollegen nur anschließen. Du kannst natürlich auch einen Ansatz von Grad 4 oder meinetwegen Grad 66 machen, aber es reicht Grad 3, wie gesagt.

Und irgendwo musst Du Dich verrechnet haben:



Die Funktion sieht zwar gar nicht schlecht aus, hat auch Steigung 0 bei x=2, aber nicht Steigung -1 bei x=-2.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Durch die Angabe sind 5 Freiheitsgrade gegeben, daher ist zur eindeutigen Lösung ein lGS mit 5 Variablen zu Grunde zu legen!

EDIT:
Der kubische Spline (grün) ist allerdings eine sehr gute Näherung.
Das ist natürlich weder ein Spline, noch kubisch, da habe ich geschlafen.

Somit ist die gesuchte Funktion vom Grad 4 (!) (Rot), Grad 3 reicht NICHT!
Demgemäß ist der Ansatz (und der Beginn des lGS) von Olli auch richtig, es muss dann irgendwo ein Rechenfehler sein (so weit zu sehen ist, 3. Matrix, 4. Zeile stimmt nicht).



Die richtige Lösung lautet a = -1/64, b = 0, c = 1/4, d = -1/2, e = 1/4



Rot: Funktion 4. Grad, exakt
Grün: Funktion 3. Grad, Näherung

mY+
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Man hat doch zwei Steigungen und zwei Anknüpfungspunkte, also vier Variablen.
Oder wie?
Was ist die 5. Variable?

EDIT:
Ach, jetzt sehe ich es: Die Kurve muss noch durch D ( 0 / 0,25 ) gehen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es!
Bei der Matrixumformung muss ein kleiner Fehler passiert sein, ich kann das allerdings schlecht lesen, weil das Bild zu klein ist.

Man sieht auch, dass die kubische Funktion eine gute Näherung darstellt, sie ist allerdings nicht exakt der Angabe gemäß.

mY+
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland

Ach, jetzt sehe ich es: Die Kurve muss noch durch D ( 0 / 0,25 ) gehen.


Oh, das habe auch ich überlesen. Dank an Mythos fürs Aufpassen.

Edit: wobei der kubische Spline (zufällig?) auch durch diesen Punkt geht und alle anderen Kriterien ebenfalls erfüllt...

Viele Grüße
Steffen
Olli1337 Auf diesen Beitrag antworten »

Schönen guten Morgen,

ich musste ein paar Tage arbeiten, daher kann ich erst heut weitermachen.

Meine Funktion schaut so aus: f(x)= -1/16x^4 + 0,25x^2 - 0,25x + 0,25
Mein Wendepunkt habe ich bei (1,63 / -0,01 ) gefunden. Das klingt irgend wie falsch...
Olli1337 Auf diesen Beitrag antworten »

zweiter WP ist (-1,63 / 1,62)
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag,

Dein Ergebnis ist falsch. Ohne den Rechenweg zu kennen, kann Dir hier nicht weiter geholfen werden.

Vergleiche mit
Übergang zweier Straßen / Steckbriefaufgabe
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Meine Funktion schaut so aus: f(x)= -1/16x^4 + 0,25x^2 - 0,25x + 0,25


Weil ich das auch üben will/muss, habe ich es versucht.
Mein Ergebnis ist:



EDIT:
Lässt man Punkt D außer acht, ergibt sich interessanterweise eine quadratische Gleichung:


Die geht aber nicht durch D, sondern durch (0|0,5).
Olli1337 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Funktion 3 mal abgeleitet und dann die '' gleich 0 gesetzt (not. Bedingung) und danach f"(x)=0^f'''(x)ungleich 0. x^2 davon die Wurzel sind 1,63 und -1,63. Die Werte in die Hauptfunktion eingesetzt.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

@Olli:
Deine Funktion stimmt aber nicht.
Setz mal (2|0) ein:

(statt 0)
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bereits mehrfach erwähnt:

Zitat:
Original von mYthos
Die richtige Lösung lautet a = -1/64, b = 0, c = 1/4, d = -1/2, e = 1/4


Viele Grüße
Steffen
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Moin Steffen,
du hast oben geschrieben:
Zitat:
Edit: wobei der kubische Spline (zufällig?) auch durch diesen Punkt geht und alle anderen Kriterien ebenfalls erfüllt...

Mich würde interessieren, wie du den kubischen Spline bestimmt hast.

Wenn ich das System mit 4 Variablen löse, also ohne Punkt D, komme ich auf eine quadratische Gleichung (s.o.), da a = 0 ist.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Da hab ich Mythos' kubische Lösung nicht genau genug angeschaut. Die "Funktion 3. Grad, Näherung" (grüne Kurve) ist nicht kubisch, sondern ebenfalls vom Grad 4. Ich ging davon aus, dass dies meiner Spline-Lösung entspricht und nicht weiter kontrolliert. Aber die hast Du ja richtig berechnet:

willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, ach so ...
Dann wäre meine nächste Frage:
Wie kommt mYthos auf seine kubische Näherung?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte, die Funktion von Steffen ist kubisch, ich hatte dies ja nicht nachgerechnet!
Allerdings ist dies natürlich KEIN Spline, ich habe dies oben entprechend editiert.
-------------
Kubische Splines sind NICHT mit einer kubischen Näherung zu verwechseln.
Splines werden abschnittsweise erstellt, sie sind kubische Parabeln, die in jedem Abschnitt (zwischen zwei Punkten) die Stützstellen stetig und mit einer minimalen Krümmung verbinden.
In Geogebra gibt es dazu den Befehl "Spline[{A,B,C,..},3]", anstatt 3 kann auch ein Grad größer gleich 3 stehen.

[attach]41580[/attach]

Die Gleichungen der Kurven sind dort sehr komplex (implizite Funktionen, der Spline selbst als Parameterfunktion), während die berechneten Kurven bei Arndt Bruenner einfache - herkömmlich berechenbare - kubische Funktionen sind.
Im Prinzip sollten sie aber weitgehend identisch sein.

[attach]41581[/attach]

Rechner für kubische Splines --> http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm

Will man die gegebenen Punkte einfach mit einer kubischen Näherungsfunktion verbinden, so führt man eine polynomiale Regression durch.
Die so erhaltene kubische Parabel geht naturgemäß nicht genau durch alle Punkte und hält auch nicht die Forderung nach krümmungsminimalen Übergängen ein.



Wie ersichtlich, genügt diese Kurve nur schlecht den in der Aufgabe gestellten Forderungen.
Näher kommt man mit einer polynomialen Regression 4. Grades, in GeoGebra ist dies mit dem Befehl 'TrendPoly' realisiert.

[attach]41583[/attach]

mY+
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Erklärung!
Werde das mal ausprobieren in Geogebra!

Grade getestet, funktioniert gut! Klasse!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Denke aber bitte daran, dass dies NICHT die Lösung der eingangs gestellten Aufgabe ist.
Mit den dort gestellten Bedingungen lautet diese



Die Splines und die polynomische Näherungsfunktion sind interessante Diskussionen an Nebenschauplätzen.

mY+
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