Quaternionengruppe

05.05.2016, 13:46

Quiet

Quaternionengruppe

Meine Frage:
Seien:
$\begin{eqnarray*} E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, I = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix},J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, K =\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} Q =<E,I,J,K> \ \leq GL(2,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ .

(a) Ist diese Gruppe abelsch?
(b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} Q = <I,J> = <I,K> = <J,K> \end{eqnarray*}$
(c) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} |Q| = 8 \end{eqnarray*}$
(d) geben Sie alle Untergruppen von Q an

Meine Ideen:
zu (a) ich weiss schon , dass es nicht eine abelsch Gruppe ist , da es nicht kommutativ ist

zu (b) , ich habe <I,J,I^{-1},J^{-1}> probiert und das gilt auch fur die andere . meine Ergebniss ist , dass alle = E sind

zu (c) und (d) leider konnte ich die nicht losen

05.05.2016, 22:37

Leopold

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RE: Quaternionengruppe

Zitat:

Original von Quiet
zu (b) , ich habe <I,J,I^{-1},J^{-1}> probiert und das gilt auch fur die andere . meine Ergebniss ist , dass alle = E sind

Das muß ich jetzt nicht verstehen ...

In der Quaternionengruppe gelten

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ I^2 = J^2 = K^2 = -E \end{align*}$

und zyklisch

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ IJ = K \, , \ \ JK = I \, , \ \ KI = J \end{align*}$

bzw. umgekehrt:

$\begin{align*} \text{(3)} \ \ JI = -K \, , \ \ KJ = -I \, , \ \ IK = -J \end{align*}$

Rechne alle Beziehungen nach. Du brauchst dabei nicht immer bei Adam und Eva anzufangen. Sind zum Beispiel $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ und $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ schon gezeigt, kann man so schließen:

$\begin{align*} JI = J(JK) = (JJ)K = -EK = -K \end{align*}$

Damit ist die Menge $\begin{align*} \{ E,I,J,K,-E,-I,-J,-K \} \end{align*}$ abgeschlossen bezüglich der Multiplikation.

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