Normalenvektor

05.05.2016, 21:31

Kat1664

Normalenvektor

Meine Frage:
Ich muss den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ herausfinden, der sowohl zu $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ orthogonal ist.

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} und \ \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} 1.\ x+y-z=0\\ 2.\ 3x+3y+2z=0 \\\Rightarrow 1.z=x+y \end{eqnarray*}$ einsetzen in die zweite Gleichung: $\begin{eqnarray*} 3x+3y+2x+2y=0\\5x=-5y \end{eqnarray*}$ wenn ich dies nun zurück in die nach z umgefortmte Gleichung setzte erhalte ich z=0

Nun weiß ich aber nicht, wie ich mit nur zwei Gleichungen die anderen zwei Variablen noch genau ausrechnen soll, bzw. bei anderen Teilaufgaben alle drei,wenn nicht eine Variable sofort 0 ergibt.

Das Lösungsbuch besagt dass $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lautet.

05.05.2016, 21:49

Dopap

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brauchst du auch nicht. (1,-1,0)^T ist nur einer von vielen NormalenVektoren.

{(a, -a ,0)^T | a beliebig } ist die Menge der Lösungsvektoren.

Fragestellung und Lösung ist nicht ganz korrekt und führt deshalb zu deiner unnötigen Frage.

06.05.2016, 00:08

mYthos

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RE: Normalenvektor
Man kann auch einen Normalvektor mittels Vektorprodukt ermitteln, möglicherweise war das im Sinne des Aufgabenstellers:

$\begin{eqnarray*} \vec n = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & \vec{e_1} \\ 1 & 3 & \vec{e_2} \\ -1 & 2 & \vec{e_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix}= 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mY+

06.05.2016, 01:15

Dopap

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RE: Normalenvektor

Zitat:

Original von mYthos
Man kann auch einen Normalvektor mittels Vektorprodukt ermitteln, möglicherweise war das im Sinne des Aufgabenstellers:

mY+

Wenn er das im Sinn hatte, dann soll er das auch sagen und dann aber auch

$\begin{eqnarray*} \vec n = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & \vec{e_1} \\ 1 & 3 & \vec{e_2} \\ -1 & 2 & \vec{e_3} \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in der Lösung angeben.

(Hier stellt sich mir die Frage, ob man auch den Nullvektor als Lösung angeben kann verwirrt