Transformationen auf einen Vektor

07.05.2016, 15:45	Xyarvius	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationen auf einen Vektor Meine Frage: Betrachtet werden folgende Transformationen: (auf einen Vektor $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ) >>Verschiebung um Vektor b: $\begin{eqnarray} \psi (x) = x+b \end{eqnarray}$ >>Drehung um Punk $\begin{eqnarray} a \in\mathbb R \end{eqnarray}$ mit Winkel $\begin{eqnarray} \phi \in (0,2\pi) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \psi (x) = D_ \phi(x-a)+a \end{eqnarray}$ mit der Drehmatrix $\begin{eqnarray} D_ \phi := \begin{pmatrix} cos \phi & -sin \phi \\ sin \phi & cos \phi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ >>Schubspiegelung an einer Gerade $\begin{eqnarray} \left\{ x \in \mathbb R^2:a_1x_1+a_2x_2=\beta\right\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_1^2+a_2^2=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit anschließender Verschiebung um $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ Längeneinheiten in Richtung $\begin{eqnarray} (-a_2,a_1)^T \end{eqnarray}$ parallel zur Spiegelungsachse: $\begin{eqnarray} \psi (x) =(I-2aa^T)x+2\beta a + \gamma \begin{pmatrix} -a_2\\ a_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun soll ich zeigen dass: 1) eine 2x2 Householder-Matrix $\begin{eqnarray} O=I-2aa^T \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a=(cos \alpha, sin \alpha)^T \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} O=\begin{pmatrix}-cos(2\alpha) &-sin(2\alpha) \\-sin(2\alpha) & cos(2\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2) jede Verschiebung in $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ als Komposition von zwei Spiegelungen 3) jede Drehung um einen Punkt $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ als Komposition von zwei Spiegelungen geschrieben werden kann. Meine Ideen: Ich bin insgesamt ziemlich ratlos 1) Householder-Matrix? Muss ich hier mit QR-Zerlegung arbeiten? 2) Wenn also $\begin{eqnarray} a(x) \end{eqnarray}$ eine Verschiebung und $\begin{eqnarray} b(x), c(x) \end{eqnarray}$ Spiegelungen nach obriger Definition beschreiben, soll ich zeigen dass für alle $\begin{eqnarray} a(x) \end{eqnarray}$ zwei $\begin{eqnarray} b(x), c(x) \end{eqnarray}$ existieren sodass $\begin{eqnarray} a(x) = b(c(x)) \end{eqnarray}$ ? 3) Hier im Prinzip analog zu 2) nur mit einer Drehung um einen Punkt $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und zwei Spiegelungen? Habt ihr Ideen und Vorschläge zur Herangehensweise? Vermutlich sind die Aufgaben trivial und ich habe nur noch nicht den richtigen Ansatz. Danke

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