Beweis endlicher Untervektorraum
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08.05.2016, 18:58 DQQpy Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis endlicher Untervektorraum
Hallo,
ich verstehe den Beweis aus der Vorlesung irgendwie nicht. Es sollte bewiesen werden, dass wenn Untervektorraum eines endlich erzeugten Vektorraus V ist, dann ist auch W endlich erzeugt und es gilt dim W <= dim V und es gilt Aus dim W = dim V folgt W = V.
Im Beweis haben wir erstmal angenommen, dass W nicht endlich erzeugt ist, daraus gefolgert dass es eine unendlich linear unabhängige Familie gibt und das steht anscheinend im Widerspruch zum Austauschsatz. Aber warum? Voraussetzung für den AS ist doch dass der Vektorraum endlich erzeugt ist.
Der zweite Teil sah so aus:
Sei dim W = dim V = n und w1,...,wn Basis von W
Annahme: W ungleich V \W
und w1,...,wn,v linear unabhängig
Widerspruch zu AS
Wieder die gleiche Frage: Was hat das mit dem Austauschsatz zu tun?

MfG
09.05.2016, 13:04 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis endlicher Untervektorraum
Zitat:
Original von DQQpy
Hallo,
ich verstehe den Beweis aus der Vorlesung irgendwie nicht. Es sollte bewiesen werden, dass wenn Untervektorraum eines endlich erzeugten Vektorraus V ist, dann ist auch W endlich erzeugt und es gilt dim W <= dim V und es gilt Aus dim W = dim V folgt W = V.
Im Beweis haben wir erstmal angenommen, dass W nicht endlich erzeugt ist, daraus gefolgert dass es eine unendlich linear unabhängige Familie gibt und das steht anscheinend im Widerspruch zum Austauschsatz. Aber warum? Voraussetzung für den AS ist doch dass der Vektorraum endlich erzeugt ist.
Ja, der Vektorraum ist ja auch endlich erzeugt, und damt sind die Vorraussetzungen des Austauschsatzes erfüllt.
09.05.2016, 17:14 DQQpy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis endlicher Untervektorraum
Achso, heißt das der Austauschsatz wird auf V angewendet um eine Basis von W zu erhalten und daher der Widerspruch?
10.05.2016, 00:08 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis endlicher Untervektorraum
Zitat:
Original von DQQpy
Achso, heißt das der Austauschsatz wird auf V angewendet um eine Basis von W zu erhalten und daher der Widerspruch?
Ja.
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