Matrizen |
09.05.2016, 20:40 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Matrizen Hallo ich bräuchte Hilfe bei drei Aufgaben/Behauptungen: 1) Sei eine Basiswechselmatrix von der Standardbasis auf zu einer Basis auf . Dann sind die Spalten von linear unabhängig. Wahr oder manchmal falsch? 2) Sei eine Matrix, so dass für ein . Dann liegt im von den Spalten von aufgespannten Unterraum von . Wahr oder manchmal falsch? 3) Sei eine Matrix, so dass die einzige Lösung der Gleichung ist. Dann sind die Spalten von linear unabhängig. Wahr oder falsch? Meine Ideen: Lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination darstellen lässt, in der alle Koeffizienten null sind. Das zeigt bereits, dass 3) wahr ist?! Zum Rest habe ich keine Idee...Wäre für Hilfe dankbar. |
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09.05.2016, 22:42 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Matrizen 1) Einen Basiswechsel kann man immer umkehren. Was sagt das über die Matrix A aus? 2) In 3) hast du allem Anschein nach verstanden, dass der Vektor Ax eine Linearkombination der Spalten von A ist. Diese Einsicht ist auch hier nützlich. |
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10.05.2016, 06:20 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Matrizen Ok wenn 3) stimmt, dann versteh ich jetzt auch 2). Die Linearkombination der Spalten bildet den Spaltenraum der Matrix, der wie der Zeilenraum einer Matrix Unterraum von ist. |
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10.05.2016, 06:51 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Matrizen Und zu 3): Für einen Basiswechsel stellt man die eine Basis als Linearkombination der anderen Basis auf. Die Koeffizienten bilden dann ja die Basiswechselmatrix. Möchte man den Basiswechsel nun umkehren, muss man die inverse Matrix bilden Spalten müssen linear unabhängig sein, da man sonst keine Inverse bilden könnte! |
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10.05.2016, 20:37 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Matrizen Stimmt das alles so? |
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10.05.2016, 20:42 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Matrizen Stimmt so. Allerdings ist mir
aufgefallen. Wenn die Matrix nicht quadratisch ist - und das ist bei 2) durchaus zugelassen - sind Zeilen- und Spaltenraum Unterräume verschiedender Vektorräume |
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