Lineare Abbildung über C zu einer Linearen Abbildung über R machen

10.05.2016, 13:09	laa_f	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung über C zu einer Linearen Abbildung über R machen Meine Frage: Hi, beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe und wollte nur wissen, ob ich da auf dem richtigen Weg bin/war. Also, gegeben ist eine lineare Abbildung f: U -> V mit U = $\begin{eqnarray} \mathbb C^{2} \end{eqnarray}$ und V = $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ sowie die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2i \\ 1+4i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bezüglich der Standardbasen von U und V Jetzt sollen U und V Vektorräume über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ sein und ich muss die Matrix von f: U -> V bezüglich der Basen B = {(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)} und C = {1,i} bestimmen. Meine Ideen: Da bei dem Ganzen eine 4×2-Matrix herauskommen sollte, war ich etwas verwirrt. Lösungsversuch: B = {(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)} = { $\begin{eqnarray} u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} \end{eqnarray}$ } f( $\begin{eqnarray} u_{1} \end{eqnarray}$ ) = 12i + i(1+4i) = 3i-4 = $\begin{eqnarray} 3u_{2}-4u_{1} \end{eqnarray}$ f( $\begin{eqnarray} u_{2} \end{eqnarray}$ ) = if( $\begin{eqnarray} u_{1} \end{eqnarray}$ )= 13i -4 = $\begin{eqnarray} -3u_{1}-4u_{2} \end{eqnarray}$ f( $\begin{eqnarray} u_{3} \end{eqnarray}$ ) = 0 ??? f( $\begin{eqnarray} u_{4} \end{eqnarray}$ ) = if( $\begin{eqnarray} u_{3} \end{eqnarray}$ )= 0 ??? Daraus folgt dann die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -4 & -3 & 0 & 0 \\ 3 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Diese enthält nun ziemlich viele Nullreihen, die mich sehr verunsichern und fragen lassen, ob die letzten zwei Berechnungen tatsächlich Null sind... Bin davon ausgeganen, da die Ausgangsmatrix (ganz oben) ja nur zwei Einträge hat. Oder lasse ich die letzten beiden dann einfach weg? HELP!
10.05.2016, 14:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst zunächst die Bilder der Basisvektoren $\begin{eqnarray} u_1,...,u_4 \end{eqnarray}$ unter der linearen Abbildung berechnen. Das kannst Du mittels der Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2i , 1+4i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ machen. Diese Bilder sind praktisch schon in der Basis $\begin{eqnarray} \{1,i\} \end{eqnarray}$ dargestellt. Du schreibst sie in die Spalten der 2x4-Matrix und bist fertig. Schreibt Ihr f(x)=xA statt wie üblich f(x)=Ax ? Egal wie, das Bild in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ist immer das (Standard-)Skalarprodukt aus Zeilenvektor und Spaltenmatrix bzw. aus Zeilenmatrix und Spaltenvektor.
11.05.2016, 18:56	laa_f	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke für die Antwort Die Bilder unter der linearen Abbildung berechnen habe ich ja (versucht), wo liegt da bei mir der Fehler? Oder ist es richtig, dass die Matrix am Ende zwei Nullzeilen/-spalten hat? Sorry, steh aufm Schlauch!
11.05.2016, 19:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnungen sind falsch und deine Vorstellungen sind falsch und deine Ergebnisse sind falsch, tut mir leid. Richtig ist, dass für $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+iy \\ u+iv \end{pmatrix} \in \mathbb C^2 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2i , 1+4i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2i , 1+4i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x+iy \\ u+iv \end{pmatrix}=\\2iz+(1+4i)w=2i(x+iy)+(1+4i)(u+iv)=2ix-2y+u+iv+4iu-4v=\\(-2y+u-4v)+i(2x+v+4u)\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ Das musst Du nur mit den 4 Vektoren der Basis B berechnen ( wirklich sehr einfach, weil jeder Basisvektor eine Komponente 0 hat ) und die 4 Bilder als Spalten aus Realteil und Imaginärteil in die 2x4-Matrix schreiben (2 Zeilen, 4 Spalten). kgV: Zeilenumbruch eingefügt, um Überbreite zu vermeiden
11.05.2016, 20:43	laa_f	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, dass ich da anscheinend zu doof für bin. Woher nimmst du (z,w)? Von der Basis C? Und wie berechne ich das dann mit B? Einsetzen? Ich denke, dass ich mich zu sehr an einer Aufgabe, die wir mal auf einem Übungsblatt hatten, entlanggehangelt habe... Habe es mal mit angehängt. http://up.picr.de/25512489xb.jpg
12.05.2016, 08:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu doof gibt es nicht. Du musst nur lernen, was ein Vektorraum ist, was eine lineare Abbildung ist, und wie nach Wahl von Basen die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung berechnet wird. Ich habe alles für dich aufgeschrieben ... mehr kann ich im Moment nicht tun. Ich kann noch die konkrete Frage beantworten, wo ich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hernehme. $\begin{eqnarray} \mathbb C^2=\{\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}:z,w\in \mathbb C\} \end{eqnarray}$ ist der komplexe Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb C^2 \end{eqnarray}$ . Eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb C^2/\mathbb C \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray}$ , weil diese beiden Vektoren linear unabhängig sind und jeder Vektor sich als Linearkombination $\begin{eqnarray} \{ \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}=z\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + w\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray}$ darstellen lässt. Wie berechnet man die Bilder der 4 Basisvektoren, die eine Basis des 4-dimensionalen reellen Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb C^2/\mathbb R \end{eqnarray}$ bilden ? Es ist doch "schnurzpiepegal", ob eine Abbildung einen Vektor aus $\begin{eqnarray} \mathbb C^2/\mathbb R \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \mathbb C^2/\mathbb C \end{eqnarray}$ abbildet. Vektor ist Vektor, Abbildung ist Abbildung, der reelle Vektorraum unterscheidet sich doch nur hinsichtlich der Skalarmultiplikation vom komplexen Vektorraum, nicht aber hinsichtlich seiner Elemente.
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