Quadratur, exakte Integration

11.05.2016, 10:28	qualle	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratur, exakte Integration Gegeben ist $\begin{eqnarray} I(f) := \int_{-1}^{1} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} I_h(f) := \frac{1}{9} (f(-1) + 8f(-\frac{1}{2}) + 8f(\frac{1}{2}) + f(1)) \end{eqnarray}$ . Die Fragen dazu sind: Finde ein Polynom $\begin{eqnarray} p \in \prod\limits_{4}^{} \end{eqnarray}$ , welches durch I_h(p) nicht exakt integriert wird und man soll überprüfen, dass alle Polynome dritten Grades exakt integriert werden. Ich habe jetzt so angefangen: $\begin{eqnarray} p(x) = 1:<br /> \int_{-1}^{1} \! p(x) \, dx = 2<br /> I(1) = 2 \end{eqnarray}$ also ist der erste Grad exakt. $\begin{eqnarray} p(x) = x<br /> \int_{-1}^{1} \! p(x) \, dx = 0<br /> I(x) = 0 \end{eqnarray}$ der zweite Grad ist auch exakt $\begin{eqnarray} p(x) = x^2<br /> \int_{-1}^{1} \! p(x) \, dx = \frac{2}{3}<br /> I(x^2) = \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ dritter Grad ist auch exakt. Demanch ist der zweite Teil der Aufgabe erfüllt. $\begin{eqnarray} p(x) = x^3<br /> \int_{-1}^{1} \! p(x) \, dx = \frac{1}{2}<br /> I(x^3) = 0 \end{eqnarray}$ da dies nun ungleich ist, ist das Polynom für den vierten Grad nicht erfüllt und damit ist die erste Aufgebe fertig. Ist das richtig so?
11.05.2016, 22:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Polynome $\begin{align} p_n \end{align}$ mit $\begin{align} p_n(x) = x^n ; \ n=0,1,2,3 \end{align}$ kann man $\begin{align} I(p_n) = I_h(p_n) \end{align}$ nachweisen. Überprüfe deine Rechnung im Fall $\begin{align} n=3 \end{align}$ . Da ist ein Fehler drin. Aber wieso sollte dann $\begin{align} I(p) = I_h(p) \end{align}$ für alle Polynome $\begin{align} p \end{align}$ höchstens dritten Grades gelten? Zumindest sollte man zur Begründung noch auf eine wichtige Eigenschaft der Funktionale $\begin{align} I \end{align}$ und $\begin{align} I_h \end{align}$ verweisen.
12.05.2016, 10:34	qualle	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde den Fehler nicht :/ Ich mein, wenn ich x^3 habe und dort -1 einsetze, dann bleibt das Vorzeichen negativ und alles hebt sich auf, sodass es null wird. Ebenso ist das mit +- 1/2
12.05.2016, 11:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \int_{-a}^a f(x) ~ \dd x = 0 \end{align}$ für jede im Intervall $\begin{align} [-a,a] \end{align}$ integrierbare ungerade Funktion.

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