Inverse Matrix aus Polynom

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11.05.2016, 11:50	Seims	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse Matrix aus Polynom Hallo, wir haben folgende Aufgabe bekommen: Es sei $\begin{eqnarray} A \in K^{n\times n} \end{eqnarray}$ invertierbar. Man zeige, dass ein Polynom $\begin{eqnarray} f(T)\in K\lbrack T\rbrack \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} A^{-1} = f(A) \end{eqnarray}$ . So weit, so kurz. Ich habe ein paar Überlegungen angestellt: Es gilt natürlich $\begin{eqnarray} A\cdot A^{-1}=1 \end{eqnarray}$ Gesucht sind also $\begin{eqnarray} a_o,\dots,a_n \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} A^{-1} = a_0+a_1A+\dots+a_nA^n \end{eqnarray}$ Das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ sieht dem von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ja ähnlich, es sind nur die einzelnen Eigenwerte invertiert. Ich bräuchte ein paar Hinweise, die mich jetzt in die richtige Richtung schubsen. Wie zeige ich, dass man mit den $\begin{eqnarray} a_0,\dots,a_n \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ erreichen kann? Danke für jeden Tipp.
11.05.2016, 12:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix aus Polynom Der Satz von Cayley-Hamilton zusammen mit deiner zweiten Bemerkung sieht doch viel versprechend aus.
11.05.2016, 13:46	Seims	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix aus Polynom Sehr gut! Deine kurze Antwort hat mir den richtigen Ansatz gegeben. Hier mein aktueller "Beweis": Sei $\begin{eqnarray} A\in K^{n\times n} \end{eqnarray}$ invertierbar. Dann gilt nach Cayley-Hamilton: $\begin{eqnarray} p_A(A) = a_0E_n + a_1A^1 + \dots + a_nA^n = 0 \end{eqnarray}$ Multipliziere mit $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} a_0A^{-1} + a_1E_n + \dots + a_nA^{n-1} = 0 \Leftrightarrow a_0A^{-1} = -a_1E_n - \dots - a_nA^{n-1} \Leftrightarrow A^{-1} = \underbrace{-\frac{a_1}{a_0}E_n - \dots - \frac{a_n}{a_0}A^{n-1}}_{=:f(A)} \end{eqnarray}$ Also ex. ein Polynom $\begin{eqnarray} f(T)\in K\lbrack T\rbrack \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f(A)=A^{-1} \end{eqnarray}$ .
11.05.2016, 14:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix aus Polynom Sehr schön Fangfrage: Was machst du aber, wenn $\begin{eqnarray} a_0 = 0 \end{eqnarray}$ ?
11.05.2016, 14:16	Seims	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix aus Polynom Ich kann doch aufgrund der 0 hinten beliebig oft mit $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ multiplizieren. Also wenn $\begin{eqnarray} p_A(A)=a_1A^1+\dots+a_nA^n=0 \end{eqnarray}$ erhalte ich: $\begin{eqnarray} A^{-1}=a_2E_n+\dots+a_nA^{n-2} \end{eqnarray}$ . Ich muss also quasi beim ersten $\begin{eqnarray} a_i\neq 0 \end{eqnarray}$ anfangen.
11.05.2016, 14:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix aus Polynom In dem Fall staende aber links $\begin{eqnarray} [A^{-1}]^2 \end{eqnarray}$ . Und die Wurzel eines Polynoms ziehen ist so eine Sache. Kann denn $\begin{eqnarray} a_0 = 0 \end{eqnarray}$ gelten?
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11.05.2016, 14:32	Seims	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix aus Polynom Sofern nicht alle Eigenwerte 0 sind eig. nicht.
11.05.2016, 14:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix aus Polynom Ein Eigenwert 0 reicht aus, damit $\begin{eqnarray} a_0 = 0 \end{eqnarray}$ . Da du offenbar zu kompliziert denkst: Das $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ eine charakterischem Polynom haengt sehr speziell von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ab. Wenn du es nicht siehst, schreibe dir die Formel für das charakteristische Polynom mal auf und setze auf beiden Seiten $\begin{eqnarray} \lambda = 0 \end{eqnarray}$ .
11.05.2016, 14:53	Seims	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix aus Polynom $\begin{eqnarray} \chi_A(0)=\text{det}(A) \end{eqnarray}$ 0 ist die Determinante nur, wenn A nicht invers ist, was aber nach Vorraussetzung ausgeschlossen ist.
11.05.2016, 15:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix aus Polynom Genau. Damit ist also $\begin{eqnarray} a_0 \neq 0 \end{eqnarray}$ . Ich hatte es daher als Fangfrage bezeichnet. Nun ist der Beweis genauso richtig wie vorher, aber vollstaendig begruendet, warum er richtig ist
11.05.2016, 15:03	Seims	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix aus Polynom Dankeschön!

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