Bijektion zwischen N und dem "Dezimalsystem"

11.05.2016, 11:53

martha.1981

Bijektion zwischen N und dem "Dezimalsystem"

Hallo,

es ist schon etwas her. Ich krame hier in einem alten Text von Walter Dubislav herum und verstehe nicht was er meint.

Er nimmt die natürlichen Zahlen und ordnet sie ihrer "als bekannt vorausgesetzte Darstellung mit den Mitteln des Dezimalsystems" zu. Außerdem steht dort weiter "wobei überdies die Regeln des Rechnens innerhalb desselben als bekannt gelten sollen". Wir pflegen nun eine Aufgabe über Zahlen dadurch zu lösen, daß wir diese Zahlen mittels des Dezimalsystems operieren, um schließlich das in Ziffern vorliegende Resultat als eine Aussage über Zahlen zu deuten."

Wie schreibe ich diese Abbildung konkret auf?

[EDIT:] Das Dezimalsystem umfasst immer die reellen Zahlen oder gibt es Auffassungen vom Dezimalsystem, welche keine irrationalen Zahlen zulässt.

Vielen Dank,

m

11.05.2016, 14:22

Elvis

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Wenn die natürlichen Zahlen im Dezimalsystem dargestellt werden, heißt das nur, dass jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Dezimaldarstellung $\begin{eqnarray*} n=\sum_{k=0}^ma_k10^k \end{eqnarray*}$ mit Ziffern $\begin{eqnarray*} a_k\in\{0,1,2,...,9\} \end{eqnarray*}$ hat. Statt der Basis 10 des Dezimalsystems kann man jede Basis $\begin{eqnarray*} b\ge 2 \end{eqnarray*}$ nehmen und hat dann die Darstellung $\begin{eqnarray*} n=\sum_{k=0}^ma_kb^k \end{eqnarray*}$ mit Ziffern $\begin{eqnarray*} a_k\in\{0,1,2,...,b-1\} \end{eqnarray*}$ . Mit reellen Zahlen hat das zunächst einmal nichts zu tun.

12.05.2016, 08:29

martha.1981

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Alles klar, danke! Das scheint wirklich alles zu sein, agt er doch

...natürlichen Zahlen und ordnet sie ihrer "als bekannt vorausgesetzte Darstellung mit den Mitteln des Dezimalsystems..."

Ja, danke. m

12.05.2016, 09:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von martha.1981
Wir pflegen nun eine Aufgabe über Zahlen dadurch zu lösen, daß wir diese Zahlen mittels des Dezimalsystems operieren, um schließlich das in Ziffern vorliegende Resultat als eine Aussage über Zahlen zu deuten."

Das verwirrende daran ist vielleicht nur, dass hier darüber geredet wird, was viele als selbstverständlich hinnehmen:

Die Darstellung der natürlichen Zahlen mit Ziffern und Zahlen. Es geht ja durchaus auch anders, z.B. so: https://en.wikipedia.org/wiki/Set-theore...natural_numbers

0 = {}
1 = {{}}
2 = {{},{{}}}
3 = {{},{{}},{{},{{}}}}
4 = {{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}

Die Darstellung rechts wird beim realen Rechnen irgendwann etwas mühsam, daher bleibt sie eher abstrakten Überlegungen vorbehalten. Augenzwinkern

12.05.2016, 18:42

Elvis

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Noch weniger konkret, aber bis auf Isomorphie eindeutig und für die weitere mathematische Forschung sehr viel ergiebiger, werden die natürlichen Zahlen durch die Dedekind-Peano-Axiome definiert. Es muss ja nicht immer nur ein Modell sein, mit dem man arbeitet. Viel besser ist es, sich mit dem Ding an sich zu befassen, und das sind nicht die natürlichen Zahlen, also die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sondern die algebraische Struktur $\begin{eqnarray*} (\mathbb N,+,\cdot,\le) \end{eqnarray*}$

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