Taylor-Reihe in der Praxis, wozu?

12.05.2016, 14:03	Taylor Swift	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor-Reihe in der Praxis, wozu? Meine Frage: Hey Leute ich habe eine Frage bezüglich der Taylor-Reihe, und zwar frage ich mich für was man diese in der Praxis genau braucht. Wie man sie anwendet und bestimmt ist für mich kein Prolbem aber mich würde es interessieren für was man das braucht. Meine Ideen: z.B. ich möchte die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=sin(\frac{pi}{4} ) \end{eqnarray}$ berechnen. Einfach in TR eingeben und man bekommt 0,7071067812. Also hat der TR diese Funktion mithilfe der Taylor-Reihe und die Lösung auf 10 Stellen nach dem Komma genau berechnet? Also ist die Taylor-Reihe dazu da, um Funktionen mit der gewünschten Genauigkeit zu berechnen? Und was ist der Unterschied zwischen der Taylor Reihe und Mac Laurinsche Reihe ? Bei Taylor ist der Entwicklungszentrum x0 und bei Mac ist sie x0=0 aber inwiefern beeinflusst der Entwicklungszentrum das Ergebnis z.B. für $\begin{eqnarray} f(x)=sin(\frac{pi}{4} ) \end{eqnarray}$ ? Gibt es einen Unterschied wenn man diese Funktion einmal mit der Mac Reihe um x0=0 entwickelt oder mit der Taylor Reihe um x0=pi ? Danke im Voraus !
12.05.2016, 15:12	Schwobble	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Taylor Swift (lol), die Taylor-Entwicklung kann hilfreich sien, wenn du lineare Näherungen berechnen möchtest. Wenn du beispielsweise irgendwelche abgefahrenen Gleichungen mit sehr vielen Sinus- und Kosinus-Anteilen vor dir hast und das Verhalten der Funtkion nur an einer Stelle in einer kleinen Umgebung abschätzen möchtest, dann bietet sich das an. Kurz und knackig. Beste Grüße
14.05.2016, 13:46	Taylor Swift	Auf diesen Beitrag antworten »
Also gehört die Taylor-Reihe quasi auch zu dem Bereich Nummerik, bei der man ja auch eine approximative Lösung einer Integration, Differentation oder DGL bestimmen will ?
14.05.2016, 14:36	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Kleinwinkelnäherung ist wohl mMn das bekannteste Beispiel für die Anwendung einer Taylor Näherung. Es gilt für kleine Winkel $\begin{eqnarray} \sin\zeta=\zeta \end{eqnarray}$ . Hier handelt es sich um eine Taylor Entwicklung des Sinus die nach dem ersten Glied abgebrochen wird. In der Physik lässt sich das sehr schön anwenden anhand einer ungedämpften Schwingungsgleichung mit $\begin{eqnarray} \ddot{\phi}+\omega_0^2\sin\phi=0 \end{eqnarray}$ Die Schwingungsgleichung wird mittels Kleinwinkelnäherung vereinfacht so dass man folgende DGL erhält: $\begin{eqnarray} \ddot{\phi}+\omega^2_0\phi=0 \end{eqnarray}$ Viele Grüße
14.05.2016, 15:19	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Oft wird auch nicht direkt die Taylorapproximation in der Anwendung gebraucht, sondern es werden Theoreme mit ihr bewiesen, die dann in der Anwendung gebraucht werden. Zum Beispiel bei Grenzwertaussagen kann das häufig passieren. Ein konkretes Beispiel wäre der zentrale Grenzwertsatz aus der Stochastik.

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